数学建模讲义2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模讲义,主讲人,:,穆学文,西安电子科技大学数学系,Email:mxw1334,例1,椅子能在不平的地面上放稳吗,?,问题分析,模型假设,通常,:,三只脚着地,放稳,:,四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形,;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,第二章,初等数学模型,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形,(,椅脚连线,),的对称性,x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,用,(,对角线与,x,轴的夹角,),表示椅子位置,四只脚着地,距离是,的函数,四个距离,(,四只脚,),A,C,两脚与地面距离之和,:,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,:,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形,ABCD,绕,O,点旋转,正方形对称性,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f,(,),g,(,),是,连续函数,.,对任意,f,(,),g,(,),至少一个为,0.,数学问题,已知：,f,(,),g,(,),是,连续函数,;,对任意,，,f,(,),g,(,)=0;,且,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0.,证明：存在,0,，使,f,(,0,)=,g0,)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置 至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子,旋转90,0,，对角线,AC,和,BD,互换。,由,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0，,知,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.,令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0,和,h,(,/2,)40（英尺,/,秒）,实际极限速度,与圆桶的,承受速度,相差巨大！,结论1,：解决问题的方向是正确的,.,分析2：解决思路：,避开求,t,0,的难点,令,v,(,t,)=,v,(,y,(,t,),其中,y,=,y,(,t,),是圆桶下沉深度,代入(1)得,将,两边积分得函数方程,：,若能求出函数,v=v(y),就可求出碰撞速度,v(300),.,用,数值方法,求出,v(300),的近似值为,v(300)45.41,40,（英尺,/,秒）,分析：,v=v(,y,),是一个单调上升函数，而,v,增大,y,也增大,可求出函数,y=y(v),令,v=40(,英尺,/秒,),g=32.2（,英尺,/,秒),算出,y=,238.4,(,英尺,),300,(英尺）,问题的实际解答：,美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的,必须改变,。,例3,商人们怎样安全过河,3,名商人,3,名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货但是乘船渡河的方案由商人决定,.,商人们怎样才能安全过河,?,河,小船,(,至多,2人),问题分析:,多步决策过程,决策,:,每一步,(,此岸到彼岸或彼岸到此岸,),船上的人员,要求,:,在安全的前提下,(,两岸的随从数不比商人多,),经有限步使全体人员过河,.,模型构成,X,k,:,第,k,次渡河前此岸的商人数,Y,k,:,第,k,次渡河前此岸的随从数,x,k,y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2,s,k,=(,x,k,y,k,):,过程的状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S:,允许状态集合,U,k,第,k,次渡船上的商人数,V,k,:,第,k,次渡船上的随从数,d,k,=(,u,k,v,k,):,决策,D=(,u,v,),u+v,=,1,2:,允许,决策,集合,u,k,v,k,=0,1,2;,k,=1,2,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,:,状态转移律,求,d,k,D(,k,=1,2,n),使,s,k,S,并,按,转移律,由,s,1,=(3,3),到达,s,n,+1,=(0,0).,多步决策问题,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法,:,编程上机,图解法,:,状态,s,=(,x,y,):16,个格点,:10,个 点,允许决策,:,移动,1或2格;,k奇,左下移,;,k,偶,右上移,.,s,1,s,n,+1,d,1,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑,4,名商人各带一随从的情况,d,1,d,11,允许状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,2,d,墙,室内,T,1,室外,T,2,d,d,墙,l,室内,T,1,室外,T,2,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,建模,热传导定律,Q,1,Q,2,Q,单位时间单位面积传导的热量,T,:,温差,d,:,材料厚度,k,:,热传导系数,例4,：双层玻璃窗的功效,热量传播只有传导，没有对流,T,1,T,2,不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数为常数,d,d,墙,l,室内,T,1,室外,T,2,Q,1,T,a,T,b,记双层玻璃窗传导的热量,Q,1,T,a,:,内层玻璃的外侧温度,T,b,:,外层玻璃的内侧温度,K,1,:,玻璃的热传导系数,K,2,:,空气,的热传导系数,建模,记单层玻璃窗传导的热量,Q,2,2,d,墙,室内,T,1,室外,T,2,Q,2,双层与单层窗传导的热量之比,k,1,=4,10,-3,8 10,-3,k,2,=2.5,10,-4,k,1,/,k,2,=16 32,对,Q,1,比,Q,2,的,减少量作最保守的估计，,取,k,1,/,k,2,=16,建模,h,Q,1,/,Q,2,4,2,0,0.06,0.03,0.02,6,模型应用,取,h,=,l/d,=4,则,Q,1,/,Q,2,=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少,97%,的热量损失。,结果分析,Q,1,/,Q,2,所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数,k,2,而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁,损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,例5,崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功,能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下,一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，,假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,我有一只具有跑 表功能的计算器。,方法一,假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式,来计算。例如，设,t,=4,秒，,g,=9.81,米/秒,2,，则可求得,h,78.5,米。,我学过微积分，我可以做,得更好，呵呵。,除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属,空气阻力,。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数,K,为常数，因而，由牛顿第二定律可得：,令,k,=,K,/,m,，,解得,代入初始条件,v,(0)=0,，,得,c,=,g/k,，,故有,再积分一次，得：,若设,k,=0.05,并仍设,t,=4,秒，则可求 得,h,73.6,米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了,反应时间,进一步深入考虑,不妨设,平均反应时间,为,0.1,秒，假如仍 设,t,=4,秒，扣除反应时间后应 为,3.9,秒，代入 式,，求得,h,69.9,米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,代入初始条 件,h,(,0,)=,0,，,得到计算山崖高度的公式：,将,e,-,kt,用泰勒公式展开并 令,k,0+,，,即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。,还应考虑,回声,传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为,t,1,，,声音传回来的时间记 为,t,2,，,还得解一个方程组：,这一方程组是,非线性,的，求解不太容易为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理,相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次,h,，,令,t,2,=h,/,340,，,校正,t,，,求石块下落时间,t,1,t-t,2,将,t,1,代入式,再算一次，得出崖高的近似值。例如，若,h=,69.9,米，则,t,2,0.21,秒，故,t,1,3.69,秒，求得,h,62.3,米。,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行,员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快,返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方,向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。,例6,：,舰艇的会合,令：,则上式可简记成：,A(0,b,),X,Y,B(0b,),P(x,y),O,航母,护卫舰,1,2,即：,可化为：,记,v,2,/,v,1,=,a,通常,a,1,则,汇合点,p,必位于此圆上。,（护卫舰的路线方程）,（航母的路线方程）,即可求出,P,点的坐标和,2,的值。,本模型虽简单，但分析极,清晰,且,易于实际应用,例7,某人平时下班总是按预定时间到达某处，然,然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早,了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他,的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他,比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时,间？,似乎条件不够哦。,换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？,显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开,5,分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设,？,