数学建模讲义2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模讲义,主讲人,:,穆学文,西安电子科技大学数学系,Email:mxw1334,例1,椅子能在不平的地面上放稳吗,?,问题分析,模型假设,通常,:,三只脚着地,放稳,:,四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形,;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,第二章,初等数学模型,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形,(,椅脚连线,),的对称性,x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,用,(,对角线与,x,轴的夹角,),表示椅子位置,四只脚着地,距离是,的函数,四个距离,(,四只脚,),A,C,两脚与地面距离之和,:,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,:,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形,ABCD,绕,O,点旋转,正方形对称性,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f,(,),g,(,),是,连续函数,.,对任意,f,(,),g,(,),至少一个为,0.,数学问题,已知：,f,(,),g,(,),是,连续函数,;,对任意,，,f,(,),g,(,)=0;,且,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0.,证明：存在,0,，使,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置 至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子,旋转90,0,，对角线,AC,和,BD,互换。,由,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0，,知,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.,令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0,和,h,(,/2,)40（英尺,/,秒）,实际极限速度,与圆桶的,承受速度,相差巨大！,结论1,：解决问题的方向是正确的,.,分析2：解决思路：,避开求,t,0,的难点,令,v,(,t,)=,v,(,y,(,t,),其中,y,=,y,(,t,),是圆桶下沉深度,代入(1)得,将,两边积分得函数方程,：,若能求出函数,v=v(y),就可求出碰撞速度,v(300),.,用,数值方法,求出,v(300),的近似值为,v(300)45.41,40,（英尺,/,秒）,分析：,v=v(,y,),是一个单调上升函数，而,v,增大,y,也增大,可求出函数,y=y(v),令,v=40(,英尺,/秒,),g=32.2（,英尺,/,秒),算出,y=,238.4,(,英尺,),300,(英尺）,问题的实际解答：,美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的,必须改变,。,例3,商人们怎样安全过河,3,名商人,3,名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货,.,但是乘船渡河的方案由商人决定,.,商人们怎样才能安全过河,?,河,小船,(,至多,2人),问题分析:,多步决策过程,决策,:,每一步,(,此岸到彼岸或彼岸到此岸,),船上的人员,要求,:,在安全的前提下,(,两岸的随从数不比商人多,),经有限步使全体人员过河,.,模型构成,X,k,:,第,k,次渡河前此岸的商人数,Y,k,:,第,k,次渡河前此岸的随从数,x,k,y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2,s,k,=(,x,k,y,k,):,过程的状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S:,允许状态集合,U,k,:,第,k,次渡船上的商人数,V,k,:,第,k,次渡船上的随从数,d,k,=(,u,k,v,k,):,决策,D=(,u,v,),u+v,=,1,2:,允许,决策,集合,u,k,v,k,=0,1,2;,k,=1,2,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,:,状态转移律,求,d,k,D(,k,=1,2,n),使,s,k,S,并,按,转移律,由,s,1,=(3,3),到达,s,n,+1,=(0,0).,多步决策问题,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法,:,编程上机,图解法,:,状态,s,=(,x,y,):16,个格点,:10,个 点,允许决策,:,移动,1或2格;,k,奇,左下移,;,k,偶,右上移,.,s,1,s,n,+1,d,1,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑,4,名商人各带一随从的情况,d,1,d,11,允许状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,2,d,墙,室内,T,1,室外,T,2,d,d,墙,l,室内,T,1,室外,T,2,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,建模,热传导定律,Q,1,Q,2,Q,单位时间单位面积传导的热量,T,:,温差,d,:,材料厚度,k,:,热传导系数,例4,：双层玻璃窗的功效,热量传播只有传导，没有对流,T,1,T,2,不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数为常数,d,d,墙,l,室内,T,1,室外,T,2,Q,1,T,a,T,b,记双层玻璃窗传导的热量,Q,1,T,a,:,内层玻璃的外侧温度,T,b,:,外层玻璃的内侧温度,K,1,:,玻璃的热传导系数,K,2,:,空气,的热传导系数,建模,记单层玻璃窗传导的热量,Q,2,2,d,墙,室内,T,1,室外,T,2,Q,2,双层与单层窗传导的热量之比,k,1,=4,10,-3,8 10,-3,k,2,=2.5,10,-4,k,1,/,k,2,=16 32,对,Q,1,比,Q,2,的,减少量作最保守的估计，,取,k,1,/,k,2,=16,建模,h,Q,1,/,Q,2,4,2,0,0.06,0.03,0.02,6,模型应用,取,h,=,l/d,=4,则,Q,1,/,Q,2,=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少,97%,的热量损失。,结果分析,Q,1,/,Q,2,所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数,k,2,而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁,损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,例5,崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功,能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下,一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，,假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算,山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,我有一只具有跑 表功能的计算器。,方法一,假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式,来计算。例如，设,t,=4,秒，,g,=9.81,米/秒,2,，则可求得,h,78.5,米。,我学过微积分，我可以做,得更好，呵呵。,除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属,空气阻力,。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数,K,为常数，因而，由牛顿第二定律可得：,令,k,=,K,/,m,，,解得,代入初始条件,v,(0)=0,，,得,c,=,g/k,，,故有,再积分一次，得：,若设,k,=0.05,并仍设,t,=4,秒，则可求 得,h,73.6,米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了,反应时间,进一步深入考虑,不妨设,平均反应时间,为,0.1,秒，假如仍 设,t,=4,秒，扣除反应时间后应 为,3.9,秒，代入 式,，求得,h,69.9,米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,代入初始条 件,h,(,0,)=,0,，,得到计算山崖高度的公式：,将,e,-,kt,用泰勒公式展开并 令,k,0+,，,即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。,还应考虑,回声,传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为,t,1,，,声音传回来的时间记 为,t,2,，,还得解一个方程组：,这一方程组是,非线性,的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理,相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次,h,，,令,t,2,=h,/,340,，,校正,t,，,求石块下落时间,t,1,t-t,2,将,t,1,代入式,再算一次，得出崖高的近似值。例如，若,h=,69.9,米，则,t,2,0.21,秒，故,t,1,3.69,秒，求得,h,62.3,米。,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行,员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快,返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方,向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。,例6,：,舰艇的会合,令：,则上式可简记成：,A(0,b,),X,Y,B(0,-,b,),P(x,y),O,航母,护卫舰,1,2,即：,可化为：,记,v,2,/,v,1,=,a,通常,a,1,则,汇合点,p,必位于此圆上。,（护卫舰的路线方程）,（航母的路线方程）,即可求出,P,点的坐标和,2,的值。,本模型虽简单，但分析极,清晰,且,易于实际应用,例7,某人平时下班总是按预定时间到达某处，然,然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早,了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他,的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他,比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时,间？,似乎条件不够哦。,换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？,显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开,5,分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设,？,