考研数学高等数学强化习题-极限(应用).doc

模块二 极限（应用）经典习题一连续、间断点以及间断点的分类1、设，在连续，则2、“在点连续”是在点处连续的（ ）条件(A) 必要非充分 (B) 充分非必要 (C) 充要 (D)既非充分又非必要3、设函数在区间上连续，则是函数的( )(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点4、函数在上的第一类间断点是5、函数的间断点的个数为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)46、设函数则 ( )（A）都是的第一类间断点. (B)都是的第二类间断点.(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.(D) 是的第二类间断点，是的第一类间断点. 7、求函数的间断点，并指出类型。8、求函数所有间断点及其类型二可导与可微1对导数定义式的直接考查9、则在处( )(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D)可导10、在可导且为奇函数，则11、设函数在内有定义且，则在处（）（A）不连续 （B）连续但不可导（C）可导且 （D）可导但12、设连续，且，求并讨论在处的连续性13、设在的邻域内有定义，且，则在处( )（A）可导，且 （B）可导，且（C）可导，且 （D）不可导14、设可导，则当时，是的（）（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小15、设函数对任意均满足, 且, 其中为非零常数, 则（）(A) 在处不可导 （B）在处可导, 且（C）在处可导, 且 （D）在处可导,且2导数的定义与极限的计算16、设一阶可导，且，则17、设二阶连续可导，且则18、在处可导，且，则19、设函数在点处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）20、设, 则21、设可导, 则22、设在处连续，且，则曲线在点的切线方程为23、已知函数在处可导，求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）3函数可导的充要条件24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价（1）极限存在（2）极限存在（3）极限存在（4）极限存在（5）极限存在（6）极限存在（7）极限存在（8）极限存在三渐近线25、曲线的渐近线有（ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条26、曲线渐近线的条数为（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)327、求下列曲线所有的渐近线。（1）（2）（3）四多元函数微分学的概念28、讨论下列二重极限是否存在，如果存在求出极限值（1） （2）（3） （4）（5） （6）29、讨论下列函数在点处是否连续，偏导数是否存在，是否可微。（1）（2）（3）（4）30、连续函数满足，则_。参考答案一连续、间断点以及间断点的分类1、【答案】：.【解析】：在连续由于，即.2、【答案】：(B)【解析】：在连续在连续（）但在连续推不出在连续，如，在连续，但在间断3、【答案】：(A)【解析】：在中，令当时，当时，因此，于是，按照间断点的分类，所以是的可去间断点4、【答案】：.【解析】：显然在区间内没有意义的点有：，且，根据间断点的定义知为跳跃间断点即为第一类间断点5、【答案】：(B)【解析】：易得的表达式：，由表达式得到的间断点为6、【答案】：(D)【解析】：因为，所以是的第二类间断点，再由，所以是的第一类间断点7、【解析】：显然为的间断点，其余点处都连续。，为可去间断点所以为跳跃间断点。8、【解析】：有间断点. 又.因为，所以为跳跃间断点.又，所以为可去间断点，且，所以为无穷间断点二可导与可微1对导数定义式的直接考查9、【答案】：(C)【解析】：，所以在处不可导，又由存在可得在右连续和左连续，既在连续10、【答案】：【解析】：因在处可导，所以在处连续，又是奇函数，所以，11、【答案】：（C）【解析】：显然，且所以在处连续，又由得，根据夹逼定理：，即12、【解析】：当时，做变量代换得当时，。由于连续，且，可知。故则当时，；当时，。故下面再讨论在处的连续性：由于可知在处连续13、【答案】：（B）【解析】：而所以14、【答案】：（A）【解析】：因为可导，所以可微分，即，所以是的高阶无穷小.15、【答案】：（D）【解析】：., 所以（注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导）.2导数的定义与极限的计算16、【答案】：2【解析】：17、【答案】：【解析】：由于是18、【答案】：【解析】：设，原式可化为：而于是所求极限为19、【答案】：（A）【解析】：因为故20、【答案】：【解析】：, 所以所以21、【答案】：【解析】：解. =+=22、【答案】：【解析】：由极限的运算法则和相关公式易得。从而，由于在处连续，所以。由得在点的切线方程为23、【解析】：（1） （2） （3） （4） （5） （6）3函数可导的充要条件24、【解析】：（1）等价，（2）不等价，（3）等价，（4）不等价，（5）不等价，（6）不等价，（7）等价，（8）等价。三渐近线25、【答案】：(D)【解析】：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线.26、【答案】：(C)【解析】：垂直渐近线，斜渐近线.27、【解析】：（1）水平渐近线，斜渐近线；（2）垂直渐近线，斜渐近线；（3）垂直渐近线，斜渐近线。四多元函数微分学的概念28、【解析】：（1），由夹逼定理可得。（2）由于无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，所以。（3）由重要极限可得。（4）取特殊路径可知极限不存在。（5），由夹逼定理可得。（6）取特殊路径和可得极限不存在。29、【解析】：（1）连续，偏导数存在（），但不可微。（2）连续，偏导数存在（），但不可微。（3）连续，存在，存在，不可微。（4）连续，偏导数存在（），也可微。29、【解析】：从极限式中凑出全微分的定义可知