考研数学高等数学强化习题-极限(应用).doc

模块二 极限（应用）
Ⅰ经典习题
一．连续、间断点以及间断点的分类
1、设，在连续，则
2、“在点连续”是在点处连续的（ ）条件
(A) 必要非充分 (B) 充分非必要 (C) 充要 (D)既非充分又非必要
3、设函数在区间上连续，则是函数的( )
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点
4、函数在上的第一类间断点是
5、函数的间断点的个数为（）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4
6、设函数则 ( )
（A）都是的第一类间断点.
(B)都是的第二类间断点.
(C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.
(D) 是的第二类间断点，是的第一类间断点.
7、求函数的间断点，并指出类型。
8、求函数所有间断点及其类型
二．可导与可微
1．对导数定义式的直接考查
9、则在处( )
(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D)可导
10、在可导且为奇函数，则
11、设函数在内有定义且，则在处（）
（A）不连续 （B）连续但不可导
（C）可导且 （D）可导但
12、设连续，，且，求并讨论在处的连续性
13、设在的邻域内有定义，，且，则在处( )
（A）可导，且 （B）可导，且
（C）可导，且 （D）不可导
14、设可导，则当时，是的（）
（A）高阶无穷小（B）等价无穷小
（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小
15、设函数对任意均满足, 且, 其中为非零常数, 则（）
(A) 在处不可导 （B）在处可导, 且
（C）在处可导, 且 （D）在处可导,且
2．导数的定义与极限的计算
16、设一阶可导，且，则
17、设二阶连续可导，且则
18、在处可导，且，则
19、设函数在点处可导，且，则（）
（A）（B）（C）（D）
20、设, 则
21、设可导, 则
22、设在处连续，且，则曲线在点的切线方程为
23、已知函数在处可导，，求下列极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
3．函数可导的充要条件
24、判断下列命题是否与函数在点处可导等价
（1）极限存在
（2）极限存在
（3）极限存在
（4）极限存在
（5）极限存在
（6）极限存在
（7）极限存在
（8）极限存在
三．渐近线
25、曲线的渐近线有（ ）
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
26、曲线渐近线的条数为（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
27、求下列曲线所有的渐近线。
（1）
（2）
（3）
四．多元函数微分学的概念
28、讨论下列二重极限是否存在，如果存在求出极限值
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
29、讨论下列函数在点处是否连续，偏导数是否存在，是否可微。
（1）
（2）
（3）
（4）
30、连续函数满足，则________。

Ⅱ参考答案
一．连续、间断点以及间断点的分类
1、【答案】：.
【解析】：在连续
由于，，即.
2、【答案】：(B)
【解析】：在连续在连续（）
但在连续推不出在连续，
如，在连续，但在间断
3、【答案】：(A)
【解析】：在中，令
当时，当时，因此，
于是，按照间断点的分类，所以是的可去间断点
4、【答案】：.
【解析】：显然在区间内没有意义的点有：，
且，，根据间断点的定义知为跳跃间断点即为第一类间断点
5、【答案】：(B)
【解析】：易得的表达式：
，由表达式得到的间断点为
6、【答案】：(D)
【解析】：因为，所以是的第二类间断点，再由，所以是的第一类间断点
7、【解析】：显然为的间断点，其余点处都连续。
，为可去间断点

所以为跳跃间断点。
8、【解析】：有间断点. 又
.
因为，所以为跳跃间断点.
又，所以为可去间断点，
且，所以为无穷间断点
二．可导与可微
1．对导数定义式的直接考查
9、【答案】：(C)
【解析】：

，所以在处不可导，又由存在可得在右连续和左连续，既在连续
10、【答案】：
【解析】：因在处可导，所以在处连续，又是奇函数，所以，

11、【答案】：（C）
【解析】：显然，且所以在处连续，又由得，根据夹逼定理：
，即
12、【解析】：当时，做变量代换得
当时，。由于连续，且，可知。
故
则当时，；
当时，。
故
下面再讨论在处的连续性：
由于
可知在处连续
13、【答案】：（B）
【解析】：

而
所以
14、【答案】：（A）
【解析】：因为可导，所以可微分，即，所以是的高阶无穷小.
15、【答案】：（D）
【解析】：.,
所以（注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导）.
2．导数的定义与极限的计算
16、【答案】：2
【解析】：

17、【答案】：
【解析】：由
于是
18、【答案】：
【解析】：设，原式可化为：
而
于是所求极限为
19、【答案】：（A）
【解析】：因为

故
20、【答案】：
【解析】：, 所以
所以
21、【答案】：
【解析】：解.
=+=
22、【答案】：
【解析】：由极限的运算法则和相关公式易得
。
从而，由于在处连续，所以。

由得在点的切线方程为
23、【解析】：（1） （2） （3） （4） （5） （6）
3．函数可导的充要条件
24、【解析】：（1）等价，（2）不等价，（3）等价，（4）不等价，（5）不等价，（6）不等价，（7）等价，（8）等价。
三．渐近线
25、【答案】：(D)
【解析】：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线.
26、【答案】：(C)
【解析】：垂直渐近线，斜渐近线.
27、【解析】：（1）水平渐近线，斜渐近线；
（2）垂直渐近线，斜渐近线；
（3）垂直渐近线，斜渐近线。
四．多元函数微分学的概念
28、【解析】：（1），由夹逼定理可得。
（2）由于无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，所以。
（3）由重要极限可得。
（4）取特殊路径可知极限不存在。
（5），由夹逼定理可得。
（6）取特殊路径和可得极限不存在。
29、【解析】：（1）连续，偏导数存在（），但不可微。
（2）连续，偏导数存在（），但不可微。
（3）连续，存在，存在，不可微。
（4）连续，偏导数存在（），也可微。
29、【解析】：从极限式中凑出全微分的定义可知