大学（数学）线性代数基础2026年阶段测试题及答案.doc

大学（数学）线性代数基础2026年阶段测试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分） 班级______ 姓名______

一、选择题（总共10题，每题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知矩阵\(A\)是\(3\times3\)矩阵，且\(\vert A\vert = 2\)，则\(\vert -2A\vert\)的值为（ ）
A. -16 B. -4 C. 4 D. 16
2. 设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(r(A)=n - 1\)，\(\alpha_1,\alpha_2\)是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的两个不同解，则\(Ax = 0\)的通解为（ ）
A. \(k\alpha_1\) B. \(k\alpha_2\) C. \(k(\alpha_1+\alpha_2)\) D. \(k(\alpha_1-\alpha_2)\)
3. 向量组\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 设\(A\)是可逆矩阵，则下列说法错误的是（ ）
A. \(A\)的行向量组线性无关 B. \(A\)的列向量组线性无关
C. \(A\)的秩等于其阶数 D. \(A\)的行列式等于0
5. 已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为（ ）
A. \(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\) B. \(\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}\) C. \(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\) D. \(\begin{pmatrix}1&-3\\-2&4\end{pmatrix}\)
6. 设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，则（ ）
A. 当\(m>n\)时，必有\(\vert AB\vert\neq0\) B. 当\(m>n\)时，必有\(\vert AB\vert = 0\)
C. 当\(n>m\)时，必有\(\vert AB\vert\neq0\) D. 当\(n>m\)时，必有\(\vert AB\vert = 0\)
7. 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则（ ）
A. 该向量组中至少有一个向量为零向量
B. 该向量组中至少有两个向量成比例
C. 该向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示
D. 该向量组的秩大于\(s\)
8. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2 = A\)，则\(A\)的特征值只能是（ ）
A. 0或1 B. 0或 -1 C. 1或 -1 D. 2或0
9. 已知矩阵\(A\)与\(B\)相似，且\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，则\(\vert B\vert\)的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵，则\(A^{-1}\)等于（ ）
A. \(A^T\) B. - \(A^T\) C. \(A\) D. - \(A\)

二、填空题（总共5题每题4分，请将答案填在题中横线上）
1. 已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}=\)______。
2. \(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是______。
3. 向量组\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)\)线性相关，则\(t=\)______。
4. 设\(A\)是\(3\times3\)矩阵，且\(\vert A\vert = 3\)，则\(\vert A^3\vert=\)______。
5. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2\)，则其矩阵为______。

三、判断题（总共5题每题3分，请判断下列各题的正误，正确的打“√”，错误的打“×”）
1. 若矩阵\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)的秩相等。（ ）
2. 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，则其部分组也线性无关。（ ）
3. 若\(A\)是正交矩阵，则\(A\)的列向量组是单位正交向量组。（ ）
4. 若\(A\)是对称矩阵，则\(A\)的特征值都是实数。（ ）
5. 若\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)有相同的特征向量。（ ）

四、简答题（总共3题每题10分，请简要回答下列问题）
1. 简述矩阵的秩的定义，并说明如何求矩阵的秩。
2. 已知向量组\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)\)，当\(t\)为何值时，该向量组线性相关？并求出其一个极大线性无关组。

3. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2 - 3A + 2E = 0\)，证明\(A\)的特征值只能是1或2

五、计算题（总共2题每题15分，要求写出必要的计算步骤）
1. 已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩，并求\(A\)的一个极大线性无关组。

2. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 2ax_2x_3\)，通过正交变换将其化为标准形，并求当\(f\)的秩为2时\(a\)的值。

答案：
一、选择题
1. A
因为\(\vert -2A\vert = (-2)^3\vert A\vert = -8\times2 = -16\)。
2. D
已知\(r(A)=n - 1\)，则\(Ax = 0\)的基础解系所含向量个数为\(n-(n - 1)=1\)，\(\alpha_1,\alpha_2\)是解且不同，所以通解为\(k(\alpha_1-\alpha_2)\)。
3. D
该向量组是三维单位向量组，线性无关，秩为3。
4. D
可逆矩阵行列式不为0，其行向量组和列向量组都线性无关，秩等于阶数。
5. A
二阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)的伴随矩阵\(A^=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)，所以\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的伴随矩阵\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。
6. B
\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，\(AB\)是\(m\times m\)矩阵，当\(m>n\)时，\(r(AB)\leq r(A)\leq n)是\(A\)的特征值，则\(A^2 = A\)可得\(\lambda^2=\lambda\)，即\(\lambda = 0\)或\(\lambda = 1\)。
9. B
相似矩阵行列式相等，\(\vert A\vert = 2\)，所以\(\vert B\vert = 2\)。
10. A
正交矩阵\(A\)满足\(A^TA = E\)，则\(A^{-1}=A^T\)。

二、填空题
1. \(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
利用伴随矩阵法求逆矩阵。
2. \(\vert A\vert\neq0\)
\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是行列式不为0。
3. 5
由向量组线性相关可得其行列式为0，计算可得\(t = 5\)。
4. 27
\(\vert A^3\vert = (\vert A\vert)^3 = 3^3 = 27\)。
5. \(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)
根据二次型矩阵的定义写出。

三、判断题
1. √
矩阵等价的充要条件是秩相等。
2. √
线性无关向量组的部分组也线性无关。
3. √
正交矩阵的列向量组是单位正交向量组。
4. √
对称矩阵的特征值都是实数。
5. ×
相似矩阵有相同特征值，但特征向量不一定相同。

四、简答题
1. 矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数。求矩阵的秩可通过对矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。
2. 由向量组构成的行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\\ 1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=t - 5\)，当\(t = 5\)时向量组线性相关。对矩阵\(\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}\)初等行变换得\(\begin{pmatrix}1&1&1\\01&2\\0&0&0\end{pmatrix}\)，极大线性无关组为\(\alpha_1,\alpha_2\)。
3. 设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是对应的特征向量，则\(A^2 - 3A + 2E = 0\)可得\((\lambda^2 - 3\lambda + 2)x = 0\)，因为\(x\neq0\)，所以\(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\)，解得\(\lambda = 1\)或\(\lambda = 2\)。

五、计算题
1. 对\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)进行初等行变换：\(r_2 - 2r_1,r_3 - 3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)，所以\(r(A)=1\)，极大线性无关组为\(\alpha_1=(1,2,3)\)。
2. 二次型矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&a\\0&a&3\end{pmatrix}\)，求其特征值\(\vert\lambda E - A\vert = (\lambda - 2)[(\lambda - 3)^2 - a^2]=0\)。当\(f\)的秩为2时，有一个特征值为0，即\((\lambda - 3)^2 - a^2 = 0\)有一个根为0，解得\(a = 3\)或\(a = -3\)。正交变换化为标准形过程略。