大学（数学）线性代数基础2026年阶段测试题及答案.doc

大学（数学）线性代数基础2026年阶段测试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分） 班级______ 姓名______

一、选择题（总共10题，每题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知矩阵\(A\)是\(3\times3\)矩阵，且\(\vert A\vert = 2\)，则\(\vert -2A\vert\)的值为（ ）
A. -16 B. -4 C. 4 D. 16
2. 设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(r(A)=n - 1\)，\(\alpha_1,\alpha_2\)是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的两个不同解，则\(Ax = 0\)的通解为（ ）
A. \(k\alpha_1\) B. \(k\alpha_2\) C. \(k(\alpha_1+\alpha_2)\) D. \(k(\alpha_1-\alpha_2)\)
3. 向量组\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 设\(A\)是可逆矩阵，则下列说法错误的是（ ）
A. \(A\)的行向量组线性无关 B. \(A\)的列向量组线性无关
C. \(A\)的秩等于其阶数 D. \(A\)的行列式等于0
5. 已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为（ ）
A. \(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\) B. \(\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}\) C. \(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\) D. \(\begin{pmatrix}1&-3\\-2&4\end{pmatrix}\)
6. 设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，则（ ）
A. 当\(m>n\)时，必有\(\vert AB\vert\neq0\) B. 当\(m>n\)时，必有\(\vert AB\vert = 0\)
C. 当\(n>m\)时，必有\(\vert AB\vert\neq0\) D. 当\(n>m\)时，必有\(\vert AB\vert = 0\)
7. 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则（ ）
A. 该向量组中至少有一个向量为零向量
B. 该向量组中至少有两个向量成比例
C. 该向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示
D. 该向量组的秩大于\(s\)
8. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2 = A\)，则\(A\)的特征值只能是（ ）
A. 0或1 B. 0或 -1 C. 1或 -1 D. 2或0
9. 已知矩阵\(A\)与\(B\)相似，且\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，则\(\vert B\vert\)的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 设\(A\)是\(n\)阶正交矩阵，则\(A^{-1}\)等于（ ）
A. \(A^T\) B. - \(A^T\) C. \(A\) D. - \(A\)

二、填空题（总共5题每题4分，请将答案填在题中横线上）
1. 已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}=\)______。
2. \(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是______。
3. 向量组\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)\)线性相关，则\(t=\)______。
4. 设\(A\)是\(3\times3\)矩阵，且\(\vert A\vert = 3\)，则\(\vert A^3\vert=\)______。
5. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2\)，则其矩阵为______。

三、判断题（总共5题每题3分，请判断下列各题的正误，正确的打“√”，错误的打“×”）
1. 若矩阵\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)的秩相等。（ ）
2. 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，则其部分组也线性无关。（ ）
3. 若\(A\)是正交矩阵，则\(A\)的列向量组是单位正交向量组。（ ）
4. 若\(A\)是对称矩阵，则\(A\)的特征值都是实数。（ ）
5. 若\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)有相同的特征向量。（ ）

四、简答题（总共3题每题10分，请简要回答下列问题）
1. 简述矩阵的秩的定义，并说明如何求矩阵的秩。
2. 已知向量组\(\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)\)，当\(t\)为何值时，该向量组线性相关？并求出其一个极大线性无关组。

3. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2 - 3A + 2E = 0\)，证明\(A\)的特征值只能是1或2。

五、计算题（总共2题每题15分，要求写出必要的计算步骤）
1. 已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，求\(A\)的秩，并求\(A\)的一个极大线性无关组。

2. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 2ax_2x_3\)，通过正交变换将其化为标准形，并求当\(f\)的秩为2时\(a\)的值。

答案：
一、选择题
1. A
因为\(\vert -2A\vert = (-2)^3\vert A\vert = -8\times2 = -16\)。
2. D
已知\(r(A)=n - 1\)，则\(Ax = 0\)的基础解系所含向量个数为\(n-(n - 1)=1\)，\(\alpha_1,\alpha_2\)是解且不同，所以通解为\(k(\alpha_1-\alpha_2)\)。
3. D
该向量组是三维单位向量组，线性无关，秩为3。
4. D
可逆矩阵行列式不为0，其行向量组和列向量组都线性无关，秩等于阶数。
5. A
二阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)的伴随矩阵\(A^=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)，所以\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的伴随矩阵\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。
6. B
\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(B\)是\(n\times m\)矩阵，\(AB\)是\(m\times m\)矩阵，当\(m>n\)时，\(r(AB)\leq r(A)\leq n<m\)，所以\(\vert AB\vert = 0\)。
7. C
向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
8. A
设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(A^2 = A\)可得\(\lambda^2=\lambda\)，即\(\lambda = 0\)或\(\lambda = 1\)。
9. B
相似矩阵行列式相等，\(\vert A\vert = 2\)，所以\(\vert B\vert = 2\)。
10. A
正交矩阵\(A\)满足\(A^TA = E\)，则\(A^{-1}=A^T\)。

二、填空题
1. \(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
利用伴随矩阵法求逆矩阵。
2. \(\vert A\vert\neq0\)
\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是行列式不为0。
3. 5
由向量组线性相关可得其行列式为0，计算可得\(t = 5\)。
4. 27
\(\vert A^3\vert = (\vert A\vert)^3 = 3^3 = 27\)。
5. \(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)
根据二次型矩阵的定义写出。

三、判断题
1. √
矩阵等价的充要条件是秩相等。
2. √
线性无关向量组的部分组也线性无关。
3. √
正交矩阵的列向量组是单位正交向量组。
4. √
对称矩阵的特征值都是实数。
5. ×
相似矩阵有相同特征值，但特征向量不一定相同。

四、简答题
1. 矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数。求矩阵的秩可通过对矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。
2. 由向量组构成的行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\\ 1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=t - 5\)，当\(t = 5\)时向量组线性相关。对矩阵\(\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}\)初等行变换得\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}\)，极大线性无关组为\(\alpha_1,\alpha_2\)。
3. 设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是对应的特征向量，则\(A^2 - 3A + 2E = 0\)可得\((\lambda^2 - 3\lambda + 2)x = 0\)，因为\(x\neq0\)，所以\(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\)，解得\(\lambda = 1\)或\(\lambda = 2\)。

五、计算题
1. 对\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)进行初等行变换：\(r_2 - 2r_1,r_3 - 3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)，所以\(r(A)=1\)，极大线性无关组为\(\alpha_1=(1,2,3)\)。
2. 二次型矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&a\\0&a&3\end{pmatrix}\)，求其特征值\(\vert\lambda E - A\vert = (\lambda - 2)[(\lambda - 3)^2 - a^2]=0\)。当\(f\)的秩为2时，有一个特征值为0，即\((\lambda - 3)^2 - a^2 = 0\)有一个根为0，解得\(a = 3\)或\(a = -3\)。正交变换化为标准形过程略。