第一章-质点运动学课后习题解答.doc

第一章 质点运动学

1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？
；；；；；；；。
解：

1-2.设质点的运动方程为。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有人先求出，然后再根据和求解。也有人用分量式求解，即和，问哪种方法正确？
解：第二种方法正确
1-3．　已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为,式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求：
(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；
(2) 质点在该时间内所通过的路程；
(3) t＝4 s时质点的速度和加速度．

解： (1) 质点在4.0 s内位移的大小

(2) 由
得知质点的换向时刻为
(t＝0不合题意)
则

所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为

(3) t＝4.0 s时

1-4.　质点的运动方程为

式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．
试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．
解　(1) 速度的分量式为

当t ＝0 时, v0x ＝-10 m·ｓ-1 , v0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

设v0与x 轴的夹角为α,则

α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为
,
则加速度的大小为

设a 与x 轴的夹角为β,则

β＝-33°41′(或326°19′)

1-5． 一质点的运动学方程为， (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)在s时，质点的速度和加速度。
解　 (1) 由质点的运动方程
(1)
(2)
消去参数t，可得质点的轨迹方程

(2) 由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度

所以
(3)

所以
(4)
把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。

1-6.已知运动函数为 (R, ω为常量)，求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。
解：速度：
速度大小：
加速度：
加速度大小：
切向加速度：； 法向加速度：
1-7. 质点沿半径为的圆周运动, 运动方程为（SI）. 求：⑴ s时, 质点的切向加速度和法向加速度.⑵ 当加速度的方向和半径成角时,角位移是多少？
解： 质点运动的角速度和角加速度分别为：

切向加速度：
法向加速度：
⑴当时

⑵ 加速度的方向和半径成时，即

此时角位移

1-8. 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad·，求＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当时，
则

1-9. 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？

解:　(1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
x ＝vt,　y ＝1/2 gt2
飞机水平飞行速度v＝100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离

(2) 视线和水平线的夹角为

(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为

1-10 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：
θ = 2 + 4t3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
解：（1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，
法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m·s-2)；
角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)，
切向加速度为 at = rβ = 4.8(m·s-2)．
（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，
当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即．
由此得，即 ，
解得 ．
所以 =3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ = rω2， 即： 24t = (12t2)2，
解得 ： t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．

1-11. 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体在x=0处的速度为，求物体的速度与位置的关系。
解：

对上式两边积分得
化简得
由题意知

故物体的速度与位置的关系为

1-12.一质点在平面内运动，其加速度，且，为常量。(1)求和的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，，。
解：由 得
两边积分得
因，为常量，所以a是常矢量，上式变为 即
由 得
两边积分，并考虑到和a是常矢量，
即
(2) 为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行，并使质点在t=0时刻位于坐标原点。
这样 (1)
2)
由前面推导过程知 (3)
联立 (1)~(3)式，消去参数t得

此即为轨道方程，它为一条抛物线。

1-13. 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?
解： (1) 由得
两边积分，得
即
由t=0时v=0 得 c=g
所以，物体的速率随时间变化的关系为:

(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0
由此得收尾速率 v=g/B

1-14 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向做谐振动，其加速度，为常数，是离开平衡位置的坐标值。设处物体的速度为，求速度与的函数关系。
解：建立如图坐标，由 ，
又
所以 ，
分离变量 ，
积分
所以 。

1-15 火车在曲率半径的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度，求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度。
解：法向加速度
加速度大小

1-16 一物体做如附图所示的抛体运动，测得轨道上点处，速度的大小为，其方向与水平线的夹角为，求点的切向加速度和该处的曲率半径。

解：
，
1-17 一火炮在原点处以仰角、初速发射一枚炮弹。另有一门位于处的火炮同时以初速发射另一枚炮弹，其仰角为何值时，能与第一枚炮弹在空中相碰？相碰时间和位置如何（忽略空气阻力的影响）？
解： 建立如图坐标，设经过时间在处两只炮弹相碰，分别讨论两炮弹的抛体运动，相遇时有：
弹1： （1）
（2）
弹2： （3）
（4）
由（1）（2）（3）（4），解得：，，，
或者 ，，，。（答案里少这种情况）