广东省广州市第二外国语学校2025-2026学年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

广东省广州市第二外国语学校2025-2026学年高一数学第一学期期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则（　　）
A. B.
C. D.
2．已知集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|0 D.
8．心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）
A.0.021 B.0.221
C.0.461 D.0.661
9．已知函数在上单调递减，则实数 a的取值范围是
A. B.
C. D.
10．三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（　　）
A. B.6
C.或6 D.0或4

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
12．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________
13．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________
14．已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确是__________（将所有符合题意的序号填在横线上）
①函数在区间上是增函数；
②满足条件的正整数的最大值为3；
③.
15．函数的定义域为_________________________
16．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的最小正周期为
（1）求图象的对称轴方程；
（2）将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在上的值域
18．已知集合，.
（1）求，；
（2）若，且，求实数的取值范围.
19．计算下列式子的值：
（1）；
（2）.
20．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.
（1）若，求面积的最大值；
（2）已知，是否存在点C，使得，若存在，求点C的个数;若不存在，说明理由.
21．已知tanα＝，求下列各式的值
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】因为，所以；
因为，，所以，
所以．选C
2、B
【解析】求解一元一次不等式化简，再由交集运算得答案
【详解】解：，2，3，，
，
，2，3，，
故选：
3、C
【解析】函数即为对数函数，图象类似的图象，
位于轴的右侧，恒过，
故选：
4、A
【解析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可
【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是直四棱柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为2，高为2，棱柱的高为2，
几何体的体积为：V6
故选A

【点睛】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力
5、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为，，
所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件
故选：B
6、A
【解析】利用三角函数的伸缩平移变换规律求解变换后的解析式，再根据二倍角公式化简.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得函数解析式为，再将函数向下平移1个单位长度，得函数解析式为.
故选：A
7、C
【解析】由于为奇函数,故为偶函数,且在上为增函数.,所以,故选C.
8、A
【解析】由题意得出，再取对数得出k的值.
【详解】由题意可知，所以，解得
故选：A
9、C
【解析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可
【详解】若函数在上单调递减，则，解得.
故选C.
【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值
10、C
【解析】根据相互垂直的两直线斜率之间的关系对b分类讨论即可得出
【详解】l1，l2都和l3垂直，①若b＝0，则a+2＝0，解得a＝﹣2，∴a+b＝﹣2
②若b≠0，则11，
联立解得a＝2，b＝4，∴a+b＝6
综上可得：a+b的值为﹣2或6
故选C
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为
考点：球的表面积，体积公式．
12、或
【解析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.
【详解】令，记的零点为，
因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，
则，或或
当时，得，，满足题意；
当时，得，，满足题意；
当时，，解得.
综上，t的取值范围为或.
故答案为：或

13、
【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可
【详解】解：函数的周期为，值域为,，
则的值域为,，
故答案为：
14、①②③
【解析】!
由题函数在区间上是增函数，则由可得为奇函数，
则①函数在区间(,0)上是增函数，正确；
由 可得 ，即有满足条件的正整数的最大值为3，故②正确；
由于 由题意可得对称轴 ，即有.，故③正确
故答案为①②③
【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，重点是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题
15、 (-1,2) .
【解析】分析：由对数式真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案
详解：由，解得﹣1＜x＜2
∴函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（﹣1，2）
故答案为（﹣1，2）
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0定义域是{x|x≠0}
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
16、
【解析】由函数的奇偶性与单调性分析可得，结合对数的运算性质变形可得，从而可得结果
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以，
又由，
则原不等式变形可得，
解可得：，
即的取值范围为，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查了指数函数的单调性以及对数的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）
【解析】（1）先由诱导公式及倍角公式得，再由周期求得，由正弦函数的对称性求对称轴方程即可；
（2）先由图象平移求出，再求出，即可求出在上的值域
【小问1详解】
，
则，解得，则，令，解得，
故图象的对称轴方程为.
【小问2详解】
，，则，，则在上的值域为.
18、（1），
（2）
【解析】（1）解出集合，利用并集、补集以及交集的定义可求得结果；
（2）由已知条件可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，或，
所以，，.
【小问2详解】
解：因为，所以或，解得或，
所以的取值范围为.
19、（1）0（2）2
【解析】（1）利用诱导公式化简每部分，化简求值；
（2）每一部分都化简成以10为底的对数，按照对数运算公式化简求值.
【详解】（1）解：原式

.
（2）解：原式
.
【点睛】本题考查三角函数诱导公式和对数运算公式化简求值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.
20、（1）（2）存在2个点C符合要求
【解析】（1）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,由,若面积最大,则到距离最大,即最大,求解即可；
（2）由,利用两点间距离公式可得,整理得到,则点为圆与圆的交点,进而由两圆的位置关系即可得到符合条件的点的个数
【详解】解：
（1）由,得,
化简,即,
所以,
当时,有最大值,此时点到距离最大为,
因为,所以面积的最大值为
（2）存在,
由,得,
化简得,即.
故点C在以为圆心,半径为2的圆上,
结合（1）中知,
点C还在以为圆心,半径为的圆上,
由于,,,且,
所以圆M、圆N相交,有2个公共点,
故存在2个点C符合要求.
【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查圆与圆的位置关系的应用,考查运算能力
21、（1）（2）（3）
【解析】(1) ＋＝＋
＝＋＝.
(2)＝＝＝.
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α
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＝＝.