2025-2026学年天津市四合庄中学数学高一第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025-2026学年天津市四合庄中学数学高一第一学期期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数f（x）＝x2－3x－4的零点是（）
A. B.
C. D.
2．设，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，，其中，若，，使得成立，则（）
A. B.
C. D.
4．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
6．定义在上的偶函数满足当时, ,则
A. B.
C. D.
7．已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
8．函数的零点所在的大致区间是
A. B.
C. D.
9．下列各式中成立的是
A. B.
C. D.
10．设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.
12．已知函数，若有解，则m的取值范围是______
13．若函数在区间内为减函数，则实数a的取值范围为___________.
14．已知函数，则______，若，则______.
15．函数的最小值为_________________
16．当时x≠0时的最小值是____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知定义在R上的函数满足：
①对任意实数，均有；
②；
③对任意，
（1）求的值，并判断的奇偶性；
（2）对任意的x∈R，证明：；
（3）直接写出的所有零点(不需要证明)
18．已知关于的函数.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）当时，对任意，记的最小值为，的最大值为，且，求实数的值.
19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，分别取BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE，EF，FA为折痕进行折叠，使点B，C，D重合于一点P.

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积
20．设S＝{x|x＝m＋n，m、n∈Z}
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1＋x2、x1·x2是否属于S？
21．已知函数.

（1）求的最小正周期；
（2）求的单调区间；
（3）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数在区间上的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】直接利用函数零点定义，解即可.
【详解】由，
解得或，
函数零点是.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是函数零点的求法，直接利用定义可以求解，是基础题.
2、D
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合0,1两个中间量即可求得答案.
【详解因为，，，所以.
故选：D.
3、B
【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转化为这两个函数的值域之间的包含关系
【详解】∵，，∴，又，∴，
∴由得，，
设，，
则，，，∴的值域是值域的子集
∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但）
∴，
∴ (*)
由上讨论知同号，
时，(*)式可化为，∴，，
当时，(*)式可化为，∴，无解
综上：
故选：B
【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解
4、D
【解析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.
【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
5、C
【解析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可.
【详解】，故正确；
，故正确；
，，故不正确；
，故正确
故选：C
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.
6、B
【解析】分析：先根据得周期为2，由时单调性得单调性，再根据偶函数得单调性，最后根据单调性判断选项正误.
详解：因为，所以周期为2，
因为当时, 单调递增，所以 单调递增，
因为，所以 单调递减，
因为， ,
所以, , ,,
选B.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.
7、D
【解析】由题意，集合是由点作为元素构成的一个点集，根据，即可得到集合的元素.
【详解】由题意，集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D
【点睛】与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集
（2）看这些元素满足什么限制条件
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
8、C
【解析】分别求出的值，从而求出函数的零点所在的范围
【详解】由题意，，，所以，所以函数的零点所在的大致区间是，故选C.
【点睛】本题考察了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题
9、D
【解析】根据指数运算法则分别验证各个选项即可得到结果.
【详解】中，中，，中，；且等式不满足指数运算法则，错误；
中，，错误；
中，，则，错误；
中，，正确.
故选：
【点睛】本题考查指数运算法则的应用，属于基础题.
10、D
【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（答案不唯一）
【解析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.
【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，
由于单调递增，则，又，解得，取，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
12、
【解析】利用函数的值域，转化方程的实数解，列出不等式求解即可．
【详解】函数，若有解，
就是关于的方程在上有解；
可得：或，
解得：或
可得．
故答案为．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想有解计算能力．
13、
【解析】由复合函数单调性的判断法则及对数函数的真数大于0恒成立，列出不等式组求解即可得答案.
【详解】解：因为，函数在区间内为减函数，
所以有，解得，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：.
14、 ①.15 ②.－3或
【解析】根据分段函数直接由内到外计算即可求，当时，分段讨论即可求解.
【详解】,
,
时，
若，则，解得或（舍去），
若，则，解得，
综上，或，
故答案为：15；－3或
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，已知自变量求函数值，已知函数值求自变量，属于容易题.
15、
【解析】利用同角三角函数的基本关系，化简函数的解析式，配方利用二次函数的性质，求得y的最小值
【详解】y＝sin2x﹣2cosx+2＝3﹣cos2x﹣2cosx＝﹣（cosx+1）2+4，
故当 cosx＝1时，y有最小值等于0，
故答案为0
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，二次函数的图象与性质，把函数配方是解题的关键
16、
【解析】直接利用基本不等式的应用求出结果
【详解】解：由于，
所以（当且仅当时，等号成立）
故最小值为
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）＝2，f(x)为偶函数；
（2）证明见解析；（3），.
【解析】(1)令x＝y＝0可求f(0)；令x＝y＝1可求f(2)；令x＝0可求奇偶性；
(2)令y＝1即可证明；
(3)(1)，是以4为周期的周期函数，由偶函数的性质可得，从而可得的所有零点
【小问1详解】
∵对任意实数，，均有，
∴令，则，可得，
∵对任意,，，∴f(0)＞0，
∴；
令，则；
∴；
∵f(x)定义域为R关于原点对称，且令时，，
∴是R上的偶函数；
【小问2详解】
令，则，
则，
∴，
即；
【小问3详解】
(1)，且是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得，从而可得f(－1)＝(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，故f(x)的零点为奇数，
即f(x)所有零点为，.
18、 (1) (2)
【解析】（1）利用偶函数定义求出实数的值；（2）函数在上单调递减，明确函数的最值，得到实数的方程，解出实数的值.
试题解析：
（1）因为函数是偶函数，所以，即，所以.
（2）当时，函数在上单调递减，
所以，，
又，所以，即，
解得（舍），所以.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过，证明平面，然后证明；
（2）利用，求出几何体的体积
【小问1详解】
证明： ，
即 , 平面，
平面,又平面，
所以；
【小问2详解】
由（1）知平面，

20、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）由a＝a＋0×即可判断；
（2）不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，经过运算得x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)，x1·x2＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，即可判断.
试题解析：
(1)a是集合S的元素，因为a＝a＋0×∈S
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m、n、p、q∈Z
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋n)＋(p＋q)，∵m、n、p、q∈Z．∴p＋q∈Z，m＋n∈Z．∴x1＋x2∈S，
x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m、n、p、q∈Z
故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z
∴x1·x2∈S
综上，x1＋x2、x1·x2都属于S
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错
21、（1）周期为；（2）递增区间是：，；递减区间是：[ k+，k+]，；（3）简图如图所示，取值范围是.
【解析】（1）利用正弦函数的周期公式即可计算得解；
（2）利用正弦函数的单调性解不等式即可求解；
（3）利用五点作图法即可画出函数在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解取值范围
【详解】（1）因为函数，所以周期；
（2）由，，得，.
函数的单调递增区间是：， .
函数的单调递减区间是：[ k+，k+] ，；
（3）
函数即再简图如图所示.
因为
所以函数在区间上的取值范围是.