安徽省合肥庐阳高级中学2025年高一上数学期末检测试题含解析.doc

安徽省合肥庐阳高级中学2025年高一上数学期末检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若将函数图象向左平移个单位，则平移后的图象对称轴为（）
A. B.
C. D.
2．已知直线，且，则的值为（ ）
A.或 B.
C. D.或
3．将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，那么所得图象的函数表达式为
A. B.
C. D.
4．在空间直角坐标系中，一个三棱锥的顶点坐标分别是，，，.则该三棱锥的体积为（）
A. B.
C. D.2
5．函数是
A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数
C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数

6．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）
A. B.
C. D.
7．函数f（x）=|x3|•ln的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
8．若方程则其解得个数为（）
A.3 B.4
C.6 D.5
9．函数的一个零点是（ ）
A. B.
C. D.
10．过点与且圆心在直线上的圆的方程为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，则的值为___________.
12．设函数f（x）=，则f（-1）+f（1）=______
13．已知函数，若，则______.
14．设当时，函数取得最大值，则__________.
15．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________
16．计算：__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为.当年产量不足千件时，（万元）；当年产量不小于千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完.（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
18．已知数列满足（，且），且，设，，数列满足.
（1）求证：数列是等比数列并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围.
19．已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围
20．我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）判断函数的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理由.
21．已知函数
（1）证明：；
（2）若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则称函数具有性质P，判断函数是否具有性质P，并证明你的结论；
（3）设点，函数．设点B是曲线上任意一点，求线段AB长度的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由图象平移写出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求对称轴方程.
【详解】，
令，，则且.
故选：A.
2、D
【解析】当时，直线，，此时满足，因此适合题意；
当时，直线，化为，可得斜率，
化为，可得斜率
∵，
∴，计算得出，
综上可得：或
本题选择D选项.
3、B
【解析】将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的的解析式为
；再将图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，所得图象对应的解析式为．选B
4、A
【解析】由题,在空间直角坐标系中找到对应的点,进而求解即可
【详解】由题,如图所示,

则,
故选:A
【点睛】本题考查三棱锥的体积,考查空间直角坐标系的应用
5、A
【解析】对于函数y＝sin，T＝4π，且sin(－)＝－sin．故选A
6、C
【解析】根据题意，分别判断四个选项中的函数的最小正周期和奇偶性即可，其中A、C选项中的函数先要用诱导公式化简.
【详解】A选项：，其定义域为，，
为偶函数，其最小正周期为，故A错误.
B选项：，其最小正周期为，函数定义域为，，
函数不是奇函数，故B错误.
C选项：其定义域为，，
函数为奇函数，其最小正周期为，故C正确.
D选项：函数定义域为，，
函数为偶函数，其最小正周期，故D错误.
故选：C.
7、A
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊点的函数值是否对应进行排除即可
【详解】f（-x）=|x3|•ln=-|x3|•ln=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，
f（）=ln=ln＜0，排除C，
故选A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键
8、C
【解析】分别画出和的图像，即可得出.
【详解】方程，即，
令，，易知它们都是偶函数，分别画出它们的图像，

由图可知它们有个交点.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是函数零点，利用数型结合是解决本题的关键，同时考查偶函数的性质，是中档题.
9、B
【解析】根据正弦型函数的性质，函数的零点，即时的值，解三角方程，即可求出满足条件的的值
【详解】解：令函数，
则，
则，
当时，.
故选：B
10、B
【解析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程.
【详解】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：B
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商数关系，将目标式化为即可求值.
【详解】.
故答案为：.
12、3
【解析】直接利用函数的解析式，求函数值即可
【详解】函数f（x）=，
则==3
故答案为3
【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法，考查计算能力
13、16或-2
【解析】讨论和两种情况讨论，解方程，求的值.
【详解】当时，，成立，
当时，，成立，
所以或.
故答案为：或
14、
【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.
【详解】由辅助角公式可知，，，，
当，时取最大值，
即，
，
故答案为.
15、 (0,1)
【解析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.
【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m满足不等式组解得0合二次函数的图像的性质即可得到结果,题型较为基础.
16、
【解析】.
故答案为.
点睛：（1）任何非零实数的零次幂等于1；
（2）当，则；
（3）.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）万件.
【解析】（1）由题意，分别写出与对应的函数解析式，即可得分段函数解析式；（2）当时，利用二次函数的性质求解最大值，当时，利用基本不等式求解最大值，比较之后得整个范围的最大值.
【详解】解：（1）当，时，

当，时，

∴
（2）当，时，，
∴当时，取得最大值（万元）
当，时，

当且仅当，即时等号成立.
即时，取得最大值万元
综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元
【点睛】与函数相关的应用题在求解的过程中需要注意函数模型的选择，注意分段函数在应用题中的运用，求解最大值时注意利用二次函数的性质以及基本不等式求解.
18、 (1)见解析（2）(3) .
【解析】（1）将式子写为：得证，再通过等比数列公式得到的通项公式.
（2）根据（1）得到进而得到数列通项公式，再利用错位相减法得到前n项和.
（3）首先判断数列的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将 代入不等式，计算得到答案.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以是等比数列，其中首项是，公比为，
所以，.
（2），
所以，
由（1）知，，又，
所以.
所以，
所以两式相减得

.
所以.
（3）
，所以当时，，
当时，，即，
所以当或时，取最大值是.
只需，
即对于任意恒成立，即

所以.
【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用对数函数单调性求出，即，利用指数函数单调性解不等式，求出，从而求出并集；
（2）根据集合的包含关系得到不等式，求出实数的取值范围.
小问1详解】
因为，所以，，
由，得，所以，

当时，
∴
【小问2详解】
由可得：，解得：
所以实数的取值范围是
20、（1）函数为奇函数，证明见解析
（2）是中心对称图形，对称中心坐标为
【解析】（1）根据奇函数的定义，即可证明结果；
（2）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论
【小问1详解】
解：函数为奇函数
证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称
又
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
解：函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程得，所以函数的定义域为
明显定义域仅关于点对称
所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点，则由题意可知有，
令，可得，所以
所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：
即只需证明，

，得证
21、（1）证明见解析；
（2）函数具有性质P，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）直接利用对数的运算求解；
（2）取函数图象上四个点，证明函数具有性质P；
（3）设（或），求出,再换元利用二次函数求函数的最值得解.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：由（1）知，的图象关于点中心对称，
取函数图象上两点，，显然线段CD的中点恰为点M；
再取函数图象上两点，，显然线段EF的中点也恰为点M
因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形，
所以函数具有性质P
小问3详解】
解：，则（或），
则
，
记（或），则，
记，则，
所以，当，即时，