2025年安徽省宿州市埇桥区数学高一上期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年安徽省宿州市埇桥区数学高一上期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点个数为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
2．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　　）个

A.3 B.4
C.7 D.8
3．下列函数中最小正周期为的是
A. B.
C. D.
4．若是第二象限角，是其终边上的一点，且，则（）
A. B.
C. D.或
5．函数f（x）=lnx+3x-7的零点所在的区间是（　　）
A. B.
C. D.
6．设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A. B.
C. D.
8．若方程表示圆，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
9．，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）
A.如果，，，那么
B.如果，，那么
C.如果，，，那么
D.如果，，，那么
10．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数,现有如下几个命题：
①该函数为偶函数； 
②是该函数的一个单调递增区间；
③该函数的最小正周期为；
④该函数的图像关于点对称；
⑤该函数的值域为.
其中正确命题的编号为 ______
12．若，则= _________ .
13．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.
14．已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为__________弧度, 扇形面积是________
15．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.
16．已知函数 若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，正方形的边长为，，分别为边和上的点，且的周长为2.

（1）求证：；
（2）求面积的最小值.
18．已知函数，其中.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最大值为2.求a的值.
19．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.
（1）求圆M的方程；
（2）若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；
（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.
20．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点

（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求点到面的距离
21．（1）计算：.
（2）若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先用诱导公式得化简，再画出图象，利用数形结合即可
【详解】由三角函数的诱导公式得，函数的零点个数，即方程的根的个数，即曲线（）与的公共点个数．在同一坐标系中分别作出图象，观察可知两条曲线的交点个数为3，故函数的零点个数为3

故选：B.
2、C

【解析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数
【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C

【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
3、A
【解析】利用周期公式对四个选项中周期进行求解
【详解】A项中Tπ，
B项中T，
C项中T，
D项中T，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数周期公式的应用．对于带绝对值的函数解析式，可结合函数的图象来判断函数的周期
4、C
【解析】根据余弦函数的定义有，结合是第二象限角求解即可.
【详解】由题设，，整理得，又是第二象限角，
所以.
故选：C
5、C
【解析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间
【详解】∵函数f（x）=lnx+3x-7在其定义域上单调递增，
∴f（2）=ln2+2×3-7=ln2-1＜0，f（3）=ln3+9-7=ln3+2＞0，
∴f（2）f（3）＜0.
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），
故选C
【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题
6、D
【解析】由题意，根据图象得到，，，，，
推出.令，，而函数.即可求解.
【详解】
【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
7、A
【解析】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A

考点：函数的零点
8、A
【解析】由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A
考点：圆的一般方程
9、D
【解析】A.由面面垂直的判定定理判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；
【详解】A.如果，，，由面面垂直的判定定理得，故正确；
B.如果，，由面面平行的性质定理得，故正确；
C.如果，，，由线面平行的性质定理得，故正确；
D如果，，，那么相交或平行，故错误；
故选：D
【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.
10、D
【解析】先整理圆的方程为可得圆心和半径,再转化问题为圆心到直线的距离小于等于,进而求解即可
【详解】由题,圆标准方程为,
所以圆心为,半径,
因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为,
所以,
所以圆心到直线的距离小于等于,即,
解得,
故选:D
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查圆的一般方程到圆的标准方程的转化,考查数形结合思想

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③
【解析】由于为非奇非偶函数, ①错误.,此时,其在上为增函数, ②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.
12、
【解析】分析和的关系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】∵，
∴
.
故答案为：.
13、##
【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.
【详解】扇形面积.
故答案为：.
14、.
【解析】详解试题分析：根据弧长公式得，扇形面积
考点：弧度制下弧长公式、扇形面积公式的应用
15、（答案不唯一）
【解析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.
【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，
由于单调递增，则，又，解得，取，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
16、；
【解析】作图可知:

点睛：利用函数零点情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）补形得证明其与全等，从而得证.
（2）引进参数，由已知建立参数变量之间的等量关系，再用方程根的判别式获得变量最值，进一步得到所求面积最值.
【详解】（1）如图：延长至，使，连接，则.
故，，.
又.
，即.

（2）设，，，则，
，，
于是，
整理得：，
.
即.
又，，当且仅当时等式成立.
此时，
因此当，时，取最小值.
的最小值为.
【点睛】方法点睛：引进参数建立参变量方程，再变换主次元，利用方程根的判别式，确定参数取值范围是求最值的方法之一.
18、（12）.
【解析】（1）根据对数的性质进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合配方法、对数复合函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）要使函数有意义，则有，
解得，
所以函数的定义域为.
（2）函数可化.
因为，所.
因，所以，
即，
由，解得.
19、（1）
（2）
（3）存在，方程为
【解析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解；
（2）注意到当点C到直线AB距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解;
（3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得.
【小问1详解】
∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0a），
∴圆M的圆心为M（a，a），半径.
又圆心M在直线上，
∴，解得.
∴圆M的方程为：.
【小问2详解】
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，
∴由，解得.
∴.
易知圆心M到直线AB的距离，
∴点C到直线AB的最大距离为.
∴△ABC面积的最大值为.
【小问3详解】
方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.
又∵，∴.
又∵直线MP的斜率为，
∴直线AB的斜率为-.
∴.
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，
∴此时点P不平分AB.
当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.
∵点A、B是圆M上的点，设，.
∴
由点差法得.
由点P是弦AB的中点，可得，
∴.
∴
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
20、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（1）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，
∴可证得，，∴四边形是平行四边形，
∴，又∵平面，平面，
∴面
（2）∵，
∴
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数幂运算、对数加法运算以及三角函数的诱导公式一，化简即可求出结果；
（2）利用诱导公式和同角的基本关系，对原式化简，可得，再将代入，即可求出结果.
【详解】解：（1）原式

.
（2）因为，
所以

.