山东省枣庄市2025-2026学年数学高二上期末质量检测试题含解析.doc

山东省枣庄市2025-2026学年数学高二上期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线与曲线的　　
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
2．已知向量，满足条件，则的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.
3．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）
A B.
C. D.
4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）
A.1 B.3
C.9 D.81
5．已知函数，为的导数，则（ ）
A.-1 B.1
C. D.
6．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7．和的等差中项与等比中项分别为（）
A.， B.2，
C.， D.1，
8．已知圆与圆相交于A、B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A 192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
10．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11．将函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）
A. B.
C. D.
12．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；
14．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.

15．在一村庄正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则村庄所在地大约有_______小时会受到台风的影响．（参考数据：）
16．已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段BC上动点，则（1）的最小值为______；（2）点F到直线DE距离的最小值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，
（1）证明是等比数列，
（2）求数列的前项和
18．（12分）已知双曲线C：的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线（）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围
19．（12分）已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B
（1）求双曲线C的方程；
（2）过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值
20．（12分）某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据
（1）男生和女生应各抽取多少人？
（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高
21．（12分）公差不为零的等差数列中，已知其前n项和为，若，且成等比数列
（1）求数列的通项；
（2）当时，求数列的前n和
22．（10分）已知数列为等差数列，，数列满足，且
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求证：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断
【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8
曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为8
对照选项，则正确
故选：
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题
2、A
【解析】先求出坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.
【详解】因为，所以，解得.
故选：A.
3、C
【解析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列
故选：C.
4、A
【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.
【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以值为1.
故选：A
5、B
【解析】由导数的乘法法则救是导函数后可得结论
【详解】解：由题意，，所以.
故选：B
6、A
【解析】根据点斜式求得正确答案.
【详解】直线的斜率为
经过点且与直线垂直的直线方程为，
即.
故选：A
7、C
【解析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可.
【详解】和的等差中项为，
和的等比中项为.
故选：C.
8、A
【解析】判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，，即圆与相交，直线AB方程为：，
圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，
所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.
故选：A
9、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B
10、A
【解析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可
解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件
故选A
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
11、A
【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.
【详解】由已知的函数逆向变换，
第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；
第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.
故.
故选：A
12、D
【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.
【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，
因为，所以，
即，由
可得，，
故所求椭圆的方程为.故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分。
13、
【解析】函数，
又函数在区间上单调递减
∴在区间上恒成立
即，解得:，
当时，经检验适合题意
故答案为
【点睛】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解
14、
【解析】由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解.
【详解】由题意，二面角等于，
可得向量，，
因为，可得,
所以

.
故答案为：
15、4
【解析】结合勾股定理求得正确答案.
【详解】如图，设村庄为A，开始台风中心的位置为B，台风路径为直线，

因为点A到直线的距离为，
∴村庄所在地受到台风影响的时间约为：（小时）.
故答案为：

本卷包括必考题和选考题两部分．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答
第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答
16、 ①.； ②..
【解析】建立空间直角坐标系.
空一：利用空间两点间距离公式，结合平面两点间距离公式进行求解即可；
空二：根据空间向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则有.

空一：，
代数式表示横轴上一点到点和点的距离之和，如下图所示：

设关于横轴的对称点为，当线段与横轴的交点为点时，有最小值，最小值为；
空二：设，为垂足，则有，，
，因为，
所以，
因此，
化简得：，当时，即时，此时，
有最小值，即最小值为，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：利用空间向量垂直的性质进行求解是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；
（2）由（1）求出，利用分组求和法求
【详解】（1）由得，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，
（2）由（1）知的通项公式为；则
所以
【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题
18、（1）
（2）或
【解析】（1）利用双曲线离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程；
（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A，B两点都在以点为圆心的同一圆上得到，再利用向量的数量积为0得到、的关系，进而消去得到的不等式进行求解.
【小问1详解】
解：因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，
所以点在双曲线上，
由题意，得，解得，，，
即双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
解：联立，得，
因为直线与该双曲线C交于不同的两点，
所以且
即且，
设，，的中点，
则，，
因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，
所以，即，
因为，，
所以，
即，
将代入，
得，
解得或，
即m的取值范围为或.
19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，，即求；
（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证
【小问1详解】
由题意可知在双曲线C中，，，，
解得
所以双曲线C的方程为；
【小问2详解】
证法一：由题可知，
设直线，，，
由，得，
则，，
∴，，

；
当直线的斜率不存在时，，此时.
综上，为定值
证法二：设直线PQ方程为，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
，，，
由双曲线方程可得，，，，
∵，∴，，

证法三：设直线PQ方程为，，，
联立得整理得，
由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
则解得，
∴，，由双曲线方程可得，，
则，
所以，，

，
∴为定值
20、（1）应抽取男生49人，女生51人；
（2）.
【解析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；
（2）利用平均数的计算公式计算求解.
【小问1详解】
解：应抽取男生人，女生应抽取100-49=51人.
【小问2详解】
解：估计该校高二年级学生的平均身高为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列的性质，结合题意，可求得值，根据成等比数列，即可求得d值，代入等差数列通项公式，即可得答案；
（2）由（1）可求得，即可得表达式，根据裂项相消求和法，即可得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由等差数列性质可得，解得，
又成等比数列，
所以，整理得，
因为，
所以，
所以
【小问2详解】
由（1）可得，则，
所以，
所以

22、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）求出的值，可求得等差数列的公差，进而可求得数列的通项公式，再由前项和与通项的关系可求得的表达式，可求得，然后对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，利用不等式的性质和数列的单调性可证得所证不等式成立.
【小问1详解】
解：因为，，所以，
因为，，所以，
设数列公差为，则，所以，
当时，由，
可得，
所以，所以，
因为满足，所以，对任意的，
【小问2详解】
证明：因为，
所以
，
因为，所以，
因为，所以，故数列单调递增，
当时，，
所以