2024年陕西省中考数学真题试卷（含答案）.docx

2024年陕西省初中学业水平考试
数 学 试 卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）

A. B. C. D.
3. 如图，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 不等式解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A. B. C. D
7. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. D.
8. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x
…

0
3
5
…
y
…

0

…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式：=_______________．
10. 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）

11. 如图，是弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________．

12. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0．
13. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________．

三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）
14. 计算：．
15. 先化简，再求值：其中，．
16 解方程：．
17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）

18. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．

19. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
20. 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
21. 如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）

22. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．

23. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：

组别
用水量
组内平均数
A

B

C

D

根据以上信息，解答下列问：
（1）这30个数据的中位数落在________组（填组别）；
（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；
（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少?
24. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．

（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
25. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角

坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索上，，且，，求的长．
26. 问题提出
（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）

问题解决
（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）

2024年陕西省初中学业水平考试
数 学 试 卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．

【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，
故选：C．
3. 如图，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
．
故选B．
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．
【详解】解：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：D．
5. 如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角

三角形有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得，，，为直角三角形，
共有4个直角三角形．
故选：C．
6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴，
∴，，
设正比例函数的解析式为：，把代入，得：，
∴；
故选A．
7. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
解得，
故选：B．
8. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x
…

0
3
5
…
y
…

0

…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A. 图象开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．

【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式：=_______________．
【答案】a（a﹣b）．
【解析】
【详解】解：=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
10. 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）

【答案】0
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．

【详解】解：由题意，填写如下：

，满足题意；
故答案为：0．
11. 如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________．

【答案】##90度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案．
【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0．
【答案】##小于

【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可．
【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________．

【答案】60
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
过点作，，

则：，
∵，且，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解：，
∴，
∴，
∴四边形的面积为60．
故答案为：60．
三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解：

．

15 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解．
【详解】解：

；
当，时，
原式．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形．
【详解】解：等腰直角如图所示：

18. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
19. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相

同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】（1）0.3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可．
小问1详解】
解：由题意得，摸出黄球的频率是，
故答案为：0.3；
【小问2详解】
解：画树状图得，

共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为．
【点睛】本题考查求频率的公式、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
20. 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
【答案】小峰打扫了．
【解析】
【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，

由题意，得：，
解得：，
答：小峰打扫了．
21. 如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）

【答案】山顶C点处的海拔高度为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴山顶C点处的海拔高度为．

22. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
【答案】（1）y与x之间的关系式为；
（2）该车的剩余电量占“满电量”的．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得当时，y的值，再计算即可求解．
【小问1详解】
解：设y与x之间的关系式为，
将，代入得，
解得，
∴y与x之间的关系式为；
【小问2详解】
解：当时，，
，
答：该车的剩余电量占“满电量”的．
23. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，

他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：

组别
用水量
组内平均数
A

B

C

D

根据以上信息，解答下列问：
（1）这30个数据的中位数落在________组（填组别）；
（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；
（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少?
【答案】（1）B （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，求一组数据的平均数，条形统计图，根据统计图信息得出相应的量，是解题的关键．
（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）根据组内平均用水量和组内户数求出这30户家庭去年7月份的总用水量即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据条形统计图可知：组有10户，B组有12户，C组有6户，D组有2户，
∴将30个数据从小到大进行排序，排在第15和16的两个数据一定落在B组，

∴这30个数据的中位数落在B组；
【小问2详解】
解：这30户家庭去年7月份的总用水量为：
；
【小问3详解】
解：去年每户家庭7月份的用水量约为：，
∵每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，
∴今年每户家庭7月份的节约用水量约为：，
∴估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约：
．
24. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．

（1）求证：；
（2）若的半径，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明；
（2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵直线l与相切于点A，
∴，
∴，

∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵直线l与相切于点A，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索上，，且，，求的长．
【答案】（1）；
（2）的长为．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，
设缆索所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为，
∵，

∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的长为．
26. 问题提出
（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）

问题解决
（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．
【解析】
【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；
（2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四

边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可．
【详解】解：（1）连接，

∵，

∴，
∵，
∴等边三角形，
∵，
∴，
∴的长为；
故答案为：；
（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下，
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵要在湿地上修建一个新观测点P，使，
∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，

∵，

∴经过点的直线都平分四边形的面积，
∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分，
∴直线必经过的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
作于点，

∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴．
答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．