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物理解题中求极值的常用方法
运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用顶点坐标法求极值
对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,
若a>0,则当x=-时,y有极小值，为ymin=；
若a<0,则当x=-时,y有极大值，为ymax =；
2、利用一元二次函数判别式求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法
利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)
若y≥A，则ymin＝A。
若y≤A，则ymax＝A。
3、利用配方法求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x＝A时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x－A )2+常数。（2）当x＝A时，常数为极大值。
4、利用均值定理法求极值
均值定理可表述为，式中a、b可以是单个变量，也可以是多项式。
当a＝b时， (a+b)min＝2 。
当a＝b时， a+b) max＝。
5、利用三角函数求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin”的形式，则y=Asin2α，在=45º时，y有极值。
对于复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。

φ
a
b
图1

考虑asinθ+bcosθ＝ ()
＝ (cosфsinθ+sinфcosθ)
＝sin(θ+ф)
其最大值为。
6、用图象法求极值
通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
7、用分析法求极值
分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述7种方法做举例说明。
例1：如图2所示的电路中。电源的电动势ε＝12伏，内阻r＝0.5欧，外电阻R1＝2欧，R2＝3欧，滑动变阻器R3＝5欧。求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?
R1
R3
a
p
b
V

R2
图2

分析：设aP间电阻为x，外电路总电阻为R. 则：

先求出外电阻的最大值Rmax再求出伏特计示数的最大值Umax。本题的关键是求Rmax，下面用四种方法求解Rmax。
[方法一] 用顶点坐标法求解
抛物线方程可表示为y＝ax2+bx+c。
考虑R＝=，
设y＝-x2+6x+16，
当x＝＝ —＝3时，Rmax(3)＝ ＝2.5Ω。

[方法二] 用配方法求解
考虑R＝ ＝=。
即x＝3Ω时，Rmax＝Ω。

[方法三] 用判别式法求解
考虑R＝ ，则有-x2+6x+16-10R＝0，
Δ＝b2-4ac＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即：100-40R≥0，
R≤2.5Ω，即Rmax＝2.5Ω。

[方法四] 用均值定理法求解
考虑R＝，设a＝2+x；b＝8-x。
当a＝b时，即2+x＝8-x，
即x＝3Ω时，Rmax(3)＝ ＝2.5Ω。
也可以用上面公式(a+b)max＝＝25，
Rmax＝＝＝2.5Ω。
以上用四种方法求出Rmax＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。
Imin＝＝＝4(A)。Umax＝ε- Iminr＝12-40.5＝10(V)。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。

例2：如图3所示。光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M＝0.99kg的木块，一颗质量为m＝0.01Kg的子弹，以V0=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大?且最大值为多少?

图3
M
mv0
R
O

[解析]子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V1，则：
mV0＝(m+M)V1，
所以：V1=＝
设在轨道最高点平抛时物块的速度为V2，由于轨道光滑，故机械能守恒：

所以：V2=
=
则平抛后的位移可以表示为：
s =V2t =V2
＝4。
因为a=-1<0,所以水平位移S应该存在最大值。当R==0.2m时，
Smax＝0.8m

例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m／s2，试分析两车不相撞的条件。
[解析]要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足
V0t- （式中S为汽车刹车时与自行车间距）
代入数据整理得：3t2-18t+S>0，
显然，当满足＝b2-4ac0，
即＝182-43S0得：S27m，Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。

例4：如图4所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?
O
mg
N
图4

[解析]：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：

解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=
根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= Nx=
可以看出：当sin2θ=1,即θ=45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=。

例5：如图5所示。质量为m的物体由力F牵引而在地面上匀速直线运动。物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F最小时的牵引角θ。(F的方向是随θ变化的。)

N
图5
G
f
F

[解析]：因物体匀速直线运动，所以有：
Fcosθ-f＝0 ①
f＝μN＝μ(mg-Fsinθ) ②
②代人①得：Fcosθ-μmg+μFsinθ＝0
即：F＝ 。分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化一”。由前面的“化一”结论得：a sinθ+b cosθ＝sin(θ+ф)
考虑本题分母：μsinθ+cosθ与a sinθ+b cosθ用比较法，得：a＝μ；b＝1。
于是tgф＝，则ф＝arc tg。所以，μsinθ+cosθ＝sin(θ+arc tg)。
要使F最小，则分母μsinθ+cosθ需最大，因此，θ+arc tg＝。
所以有：θ＝-arc tg＝-arc ctgμ=arc tgμ。
即：θ=arc tgμ时，F最小。
作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。F＝。考虑，则有μcosθ-sinθ＝0则θ＝arc tgμ，即当F最小时，牵引角θ＝arc tgμ。

例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4米／秒2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2米／秒2，10秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。
分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。由题意可知，4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V甲=a甲t甲＝44＝16(m／s)。
乙10秒后做匀速运动的速度为：
V乙＝a乙t乙＝210＝20(m／s)。
4
8
12

5
10
20
V(m/s)
t/s
0
A（8；16）
甲
乙
16
图6

可画出v—t如上图6所示。图线在A(8，16)点相交，这表明在t＝8秒时，两物体的速度相等，因此．在t＝8秒时，两者间的距离最大。此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。
即S max＝416 + 416 — 816＝32(m)。
用分析法求极值在物理计算中较常见。经过对物理状态或过程分析后求极值，不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。

例7：如图7所示。AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L，导轨平面与平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B。在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计。求ab棒的最大速度

R
A
C
B
a
b

图7
B

[解析]：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。金属棒ab横截面受力如上图7所示。
在下滑过程中，ab受重力mg，支持力N＝mgcosθ，摩擦力f＝μmgcosθ，安培力F＝。沿导轨平面有：
mgsinθ-μmgcosθ-=ma ①
ab由静止加速下滑会导致：
V
F

a

当a＝0时，ab速度到达最大，即：V＝Vmax所以①式变为
mgsinθ—μmgcosθ—=0 ②
②解式得：Vmax＝ 。
综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性”，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界”，要注意定义域和值域的对应关系。

例8：如图8所示。已知电流表内阻忽略不计。ε＝10V，r＝1Ω，Ro＝R＝4Ω，其中R为滑动变阻器的最大值。当滑动片P从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小值是多少?最大值是多少?电流表的示数将怎样变化?
A

R0
R
P
a
b
图8

解：设滑动变阻器滑片P左端的电阻为R左，通过电流表的电流为IA通过Ro的电流为Io，由并联电路可知
= ① 由欧姆定律得：I＝
即：I=②
I=I0+IA= IA ③
把③代入②式整理得IA＝ ④
用配方法对④式求极值。
IA＝ =
当R＝2.5Ω时，IA有极小值IAmin＝1.52(A)。
当求电流表的最大值时，就需考虑R的取值范围是“有界”的。这时的极值要与“界”的定义域对应，不能“出界”。当R左＝0时，即由④式得IA p在a＝＝2(A)。
当R左＝R＝4Ω时，由④式得IA P在b＝(A)。
由此可得，电流表先从2A减小到1.52A，然后再增加到1.67A。所以电流表的最大值是2A，其变化是先减小后增大。
综上所述，求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。