物理中求极值的常用方法.doc

物理解题中求极值的常用方法 运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,若a0,则当x=-时,y有极小值，为ymin=；若a0,则当x=-时,y有极大值，为ymax =；2、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法利用b2-4ac0。(式中含y)若yA，则yminA。若yA，则ymaxA。3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当xA时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = ( xA )2+常数。（2）当xA时，常数为极大值。4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为，式中a、b可以是单个变量，也可以是多项式。当ab时， (a+b)min2 。当ab时， (a+b) max。5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin”的形式，则y=Asin2，在=45时，y有极值。对于复杂的三角函数，例如y=asin+bcos，要求极值时先需要把不同名的三角函数sin和cos，变成同名的三角函数，比如sin(+) 。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。ab图1考虑asin+bcos () (cossin+sincos)sin(+)其最大值为。6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。7、用分析法求极值分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述7种方法做举例说明。例1：如图2所示的电路中。电源的电动势12伏，内阻r0.5欧，外电阻R12欧，R23欧，滑动变阻器R35欧。求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?R1R3apbVR2图2分析：设aP间电阻为x，外电路总电阻为R. 则： 先求出外电阻的最大值Rmax再求出伏特计示数的最大值Umax。本题的关键是求Rmax，下面用四种方法求解Rmax。 方法一 用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为yax2+bx+c。考虑R=，设y-x2+6x+16，当x 3时，Rmax(3) 2.5。 方法二 用配方法求解考虑R =。即x3时，Rmax。方法三 用判别式法求解考虑R ，则有-x2+6x+16-10R0，b2-4ac36-4(-1)(16-10R)0，即：100-40R0，R2.5，即Rmax2.5。 方法四 用均值定理法求解考虑R，设a2+x；b8-x。当ab时，即2+x8-x，即x3时，Rmax(3) 2.5。也可以用上面公式(a+b)max25，Rmax2.5。以上用四种方法求出Rmax2.5，下边求伏特计的最大读数。Imin4(A)。Umax- Iminr12-40.510(V)。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5处，伏特计有最大值，最大值为10伏。例2：如图3所示。光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M0.99kg的木块，一颗质量为m0.01Kg的子弹，以V0=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大?且最大值为多少? 图3Mmv0RO 解析子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V1，则：mV0(m+M)V1，所以：V1= 设在轨道最高点平抛时物块的速度为V2，由于轨道光滑，故机械能守恒： 所以：V2=则平抛后的位移可以表示为：s =V2t =V2 4。因为a=-10，显然，当满足b2-4ac0，即182-43S0得：S27m，Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。例4：如图4所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?OmgN图4解析：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：解得小球对小车的压力为：N=3mgcos，其水平分量为：Nx=3mgsincos=根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= Nx=可以看出：当sin2=1,即=45时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=。例5：如图5所示。质量为m的物体由力F牵引而在地面上匀速直线运动。物体与地面间的滑动摩擦系数为,求力F最小时的牵引角。(F的方向是随变化的。)N图5GfF解析：因物体匀速直线运动，所以有： Fcos-f0 fN(mg-Fsin) 代人得：Fcos-mg+Fsin0即：F 。分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化一”。由前面的“化一”结论得：a sin+b cossin(+)考虑本题分母：sin+cos与a sin+b cos用比较法，得：a；b1。于是tg，则arc tg。所以，sin+cossin(+arc tg)。要使F最小，则分母sin+cos需最大，因此，+arc tg。所以有：-arc tg-arc ctg=arc tg。 即：=arc tg时，F最小。作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。F。考虑，则有cos-sin0则arc tg，即当F最小时，牵引角arc tg。例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4米秒2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2米秒2，10秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。 分析：运用物理规律和图形相结合求极值是常用的一种比较直观的方法。由题意可知，4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V甲=a甲t甲4416(ms)。 乙10秒后做匀速运动的速度为：V乙a乙t乙21020(ms)。481251020V(m/s)t/s0A（8；16）甲乙16图6可画出vt如上图6所示。图线在A(8，16)点相交，这表明在t8秒时，两物体的速度相等，因此在t8秒时，两者间的距离最大。此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。 即S max416 + 416 81632(m)。 用分析法求极值在物理计算中较常见。经过对物理状态或过程分析后求极值，不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。例7：如图7所示。AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L，导轨平面与平面的夹角是，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B。在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为，导轨和金属棒的电阻不计。求ab棒的最大速度。 RACBab图7B 解析：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。金属棒ab横截面受力如上图7所示。在下滑过程中，ab受重力mg，支持力Nmgcos，摩擦力fmgcos，安培力F。沿导轨平面有： mgsin-mgcos-=ma ab由静止加速下滑会导致：VFa 当a0时，ab速度到达最大，即：VVmax所以式变为mgsinmgcos=0 解式得：Vmax 。综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性”，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界”，要注意定义域和值域的对应关系。 例8：如图8所示。已知电流表内阻忽略不计。10V，r1，RoR4，其中R为滑动变阻器的最大值。当滑动片P从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小值是多少?最大值是多少?电流表的示数将怎样变化?AR0RPab图8解：设滑动变阻器滑片P左端的电阻为R左，通过电流表的电流为IA，通过Ro的电流为Io，由并联电路可知= 由欧姆定律得：I 即：I=I=I0+IA= IA 把代入式整理得IA 用配方法对式求极值。IA = 当R2.5时，IA有极小值IAmin1.52(A)。当求电流表的最大值时，就需考虑R的取值范围是“有界”的。这时的极值要与“界”的定义域对应，不能“出界”。当R左0时，即由式得IA p在a2(A)。当R左R4时，由式得IA P在b(A)。 由此可得，电流表先从2A减小到1.52A，然后再增加到1.67A。所以电流表的最大值是2A，其变化是先减小后增大。 综上所述，求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。