大学高数历期末试题.doc

2010-2011年一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 12设,则=3设函数以为周期，为的的傅里叶级数的和函数，则 .4设曲线为圆周,则曲线积分=二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设直线为平面为,则 （ ） . (A) 平行于平面 (B) 在平面上 (C) 垂直于平面 (D) 与相交，但不垂直 2设有空间区域，则等于 （ ）.(A) (B) (C) (D) 3下列级数中，收敛的级数是（）. (A) (B) (C) (D) 4. 设是正项级数，则下列结论中错误的是（ ）（A） 若收敛，则也收敛 （B）若收敛，则也收敛（C）若收敛，则部分和有界 （D）若收敛，则三计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1设函数具有二阶连续偏导数，求.2求函数在曲线上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数.解：3计算其中.4.设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比（比例系数为），试求立体的质量.6. 计算第二类曲面积分，其中为球面的外侧7求幂级数的和函数。四证明题（本题4分）证明下列不等式成立：，其中.五证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为小山的高度函数为（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在的边界线上找使（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。2009-2010年一、 填空题（每小题5分，满分30分）1. 若向量两两互相垂直，且，则 .2设函数，求 .3. 设函数为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序： .4. 计算 .5. 幂级数的收敛域为： .6. 设函数的傅里叶级数为：，则其系数 .二、 选择题（每小题5分，满分20分）1直线与平面的位置关系是( )(A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数, 则（ ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在点有极大值； (D) 无极值.3. 设是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，的方向为逆时针方向，则（ ）(A) 0； (B) ； (C) ； (D) .4. 设为常数，则级数（ ）(A) 绝对收敛； (B) 发散；(C) 条件收敛； (D) 敛散性与值有关.本页满分14分本页得分三、计算题 (本大题满分42分)1. 设 讨论在原点处是否连续，并求出两个偏导数和. (7分)2. 计算其中是由上半球面和锥面所围成的立体 . (7分)本页满分14分本页得分3. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.（7分）4. 计算曲面积分 ，其中 是由 围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）本页满分14分本页得分5.讨论级数的敛散性. （6分）6. 把级数的和函数展成的幂级数.（8分）本页满分8分本页得分四、 （本题满分8分）设曲线L是逆时针方向圆周，是连续的正函数，证明：本页满分8分本页得分五、 设曲线L是逆时针方向圆周，是连续的正函数，证明：（8分）2008-2009年一选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量满足关系式，则（）. （A）必有。 （B）必有。（C）当时，必有。 （D）必有为常数).2. 直线与平面的关系是（）.（A）平行，但直线不在平面上。 （B）直线在平面上；（C）垂直相交。 （D）相交但不垂直.3. 二元函数在点（0，0）处（）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知为某二元函数的全微分，则（）.（A）。 （B）。 （C）。 （D）.5. 设是连续函数，平面区域，则（）. （A）。 （B）。（C）。 （D）.6. 设为常数，则级数（）.（A）发散 。 （B）绝对收敛。 （C）条件收敛。 （D）收敛性与的值有关.二填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数，向量，点，则_.2. 若函数在点处取得极值，则常数_.3. 为圆的一周，则_.4. 设，级数的收敛半径为 _.5. 设，则_.6. 设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于_.三解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设是可微函数，求.解题过程是：2. （本小题6分）计算二重积分，其中.解题过程是：3. （本小题6分）设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.解题过程是：4. （本小题6分）计算三重积分，其中是由柱面及，所围成的空间区域.解题过程是：5. （本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.解题过程是：6. （本小题7分）求幂级数的收敛域及和函数.解题过程是：7. （本小题7分）计算，为立体的边界。解题过程是：四证明题（8分）.设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，（1）证明曲线积分与路径无关。（2）当时，求的值.2007-2008年1.平面与平面的夹角为 .2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为. 3.设是有界闭区域上的连续函数，则当时， .4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：_.6. 将函数展开成余弦级数为_ .二、单项选择题：712小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7.若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8.设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（）(A) ； (B) ；(C) ； (D) .9.已知空间三角形三顶点，则的面积为（）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .10. 曲面积分在数值上等于( ) (A) 流速场穿过曲面指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片的质量；(C) 向量场穿过曲面指定侧的通量；(D) 向量场沿边界所做的功. 11( )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数的敛散性为 ( )(A) 当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛；（D）当时，发散.三、解答题：1320小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分.14. （本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.18.（本题满分8分）计算，其中是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.19.（本题满分8分）在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：.2006-2007年（无答案，仅用于题型参考）一、 选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1设三向量满足关系式，则（）. （A）必有。 （B）必有。（C）当时，必有。 （D）必有.2. 已知，且，则（）.（A）2 。 （B）。 （C）。 （D）1 .3. 设曲面，是在第一卦限中的部分，则有（）.（A）。 （B）。（C）。 （D）.4. 曲面在点处的切平面方程是：（）.（A）。 （B）。（C）。 （D）.5. 判别级数的敛散性，正确结果是：（）.（A）条件收敛。 （B）发散；（C）绝对收敛。 （D）可能收敛，也可能发散.6. 平面的位置是（）.（A）平行于XOY平面。 （B）平行于Z轴，但不通过Z轴。（C）垂直于Z轴 。 （D）通过Z轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）.1. 已知，则.2. 函数在点处沿向量的方向导数是_，函数在点处的方向导数取最大值的方向是_，该点处方向导数的最大值是_.3. 已知曲线，则.4. 设函数展开傅立叶级数为：，则.三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分.解题过程是：3. 已知函数的全微分，并且. 求在椭圆域上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设是由，所围成的有界闭区域，计算三重积分.解题过程是：5. 设为从点沿曲线到点一段曲线，计算.解题过程是：6. 设是上半球面的下侧，计算曲面积分.解题过程是：7. 将函数展开成关于的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）.证明不等式: ，其中是正方形区域：.24 / 24