大学高数历期末试题.doc

2010-2011年
一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分)
1．
2．设,则=
3．设函数以为周期，为的的傅里叶级数的和函数，则 .
4．设曲线为圆周,则曲线积分=

二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1. 设直线为平面为,则 （ ） .
(A) 平行于平面 (B) 在平面上
(C) 垂直于平面 (D) 与相交，但不垂直
2．设有空间区域，则等于 （ ）.
(A) (B) (C) (D)

3．下列级数中，收敛的级数是（）.
(A) (B)
(C) (D)

4. 设是正项级数，则下列结论中错误的是（ ）
（A） 若收敛，则也收敛 （B）若收敛，则也收敛
（C）若收敛，则部分和有界 （D）若收敛，则

三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）
1．设函数具有二阶连续偏导数，，求.

2．求函数在曲线上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数.
解：

3．计算其中.

4.设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比（比例系数为），试求立体的质量.

6. 计算第二类曲面积分，其中为球面的外侧．

7．求幂级数的和函数。

四．证明题（本题4分）
证明下列不等式成立：，其中.

五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为小山的高度函数为
（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。
（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在的边界线上找使（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

2009-2010年
一、 填空题（每小题5分，满分30分）
1. 若向量两两互相垂直，且，则 .
2．设函数，求 .
3. 设函数为连续函数,　改变下列二次积分的积分顺序：
.
4. 计算 .
5. 幂级数的收敛域为： .
6. 设函数 的傅里叶级数为：，
则其系数 .
二、 选择题（每小题5分，满分20分）
1．直线与平面的位置关系是( )
(A) 直线在平面内； (B) 垂直；
(C) 平行； (D) 相交但不垂直.
2.设函数, 则（ ）
(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；
(C) 在点有极大值； (D) 无极值.
3. 设是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，的方向为逆时针方向，则（ ）
(A) 0； (B) ； (C) ； (D) .
4. 设为常数，则级数（ ）
(A) 绝对收敛； (B) 发散；
(C) 条件收敛； (D) 敛散性与值有关.

本页满分14分
本页得分

三、计算题 (本大题满分42分)
1. 设 讨论在原点处是否连续，并求出两个偏导数和. (7分)

2. 计算其中是由上半球面和锥面
所围成的立体 . (7分)

本页满分14分
本页得分

3. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.（7分）

4. 计算曲面积分 ，其中 是由 围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）

本页满分14分
本页得分

5.讨论级数的敛散性. （6分）

6. 把级数的和函数展成的幂级数.（8分）

本页满分8分
本页得分

四、 （本题满分8分）设曲线L是逆时针方向圆周，是连续的正函数，证明：

本页满分8分
本页得分

五、 设曲线L是逆时针方向圆周，是连续的正函数，证明：（8分）

2008-2009年
一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1. 设三向量满足关系式，则（）.
（A）必有。 （B）必有。
（C）当时，必有。 （D）必有为常数).

2. 直线与平面的关系是（）.
（A）平行，但直线不在平面上。 （B）直线在平面上；
（C）垂直相交。 （D）相交但不垂直.

3. 二元函数在点（0，0）处（）
(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在
(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在

4. 已知为某二元函数的全微分，则（）.
（A）。 （B）。 （C）。 （D）.

5. 设是连续函数，平面区域，则（）.
（A）。 （B）。
（C）。 （D）.

6. 设为常数，则级数（）.
（A）发散 。 （B）绝对收敛。 （C）条件收敛。 （D）收敛性与的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

1. 设函数，向量，点，
则_____________.

2. 若函数在点处取得极值，则常数____________.

3. 为圆的一周，则_____________.

4. 设，级数的收敛半径为 _____________.

5. 设，则_____________.

6. 设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，
则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于_____________.

三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.
1.（本小题6分）设是可微函数，，求.
解题过程是：

2. （本小题6分）计算二重积分，其中.
解题过程是：

3. （本小题6分）设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.
解题过程是：

4. （本小题6分）计算三重积分，其中是由柱面及，，所围成的空间区域.
解题过程是：

5. （本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.
解题过程是：

6. （本小题7分）求幂级数的收敛域及和函数.
解题过程是：

7. （本小题7分）计算，为立体的边界。
解题过程是：

四．证明题（8分）.
设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，
（1）证明曲线积分与路径无关。
（2）当时，求的值.

2007-2008年
1.平面与平面的夹角为 .
2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为.
3.设是有界闭区域上的连续函数，则当时， .
4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为 .
5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：______________________________________.
6. 将函数展开成余弦级数为__________________________________
.
二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.
7.若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（）
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
8.设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（）
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) .
9.已知空间三角形三顶点，则的面积为（）
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
10. 曲面积分在数值上等于( )
(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量；
(C) 向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场沿Σ边界所做的功.
11．( )
(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.
12.级数的敛散性为 ( )
(A) 当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛；
(C) 当时，绝对收敛；（D）当时，发散.
三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.（本题满分6分）设确定，求全微分.

14. （本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.

16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.

17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.

18.（本题满分8分）计算，其中是由曲面
与平面围成的有界闭区域的表面外侧.

19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.

20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：
.

2006-2007年（无答案，仅用于题型参考）
一、 选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1．设三向量满足关系式，则（）.
（A）必有。 （B）必有。
（C）当时，必有。 （D）必有.

2. 已知，且，则（）.
（A）2 。 （B）。 （C）。 （D）1 .

3. 设曲面，是在第一卦限中的部分，则有（）.
（A）。 （B）。
（C）。 （D）.

4. 曲面在点处的切平面方程是：（）.
（A）。 （B）。
（C）。 （D）.

5. 判别级数的敛散性，正确结果是：（）.
（A）条件收敛。 （B）发散；
（C）绝对收敛。 （D）可能收敛，也可能发散.

6. 平面的位置是（）.
（A）平行于XOY平面。 （B）平行于Z轴，但不通过Z轴。
（C）垂直于Z轴 。 （D）通过Z轴 .

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）.
1. 已知，则.

2. 函数在点处沿向量的方向导数是____________，函数在点处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是____________.

3. 已知曲线，则.

4. 设函数展开傅立叶级数为：，则.

三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.
1. 求幂级数收敛域及其和函数.
解题过程是：

2. 计算二重积分.
解题过程是：

3. 已知函数的全微分，并且. 求在椭圆域上的最大值和最小值.
解题过程是：

4. 设是由，所围成的有界闭区域，计算三重积分.
解题过程是：

5. 设为从点沿曲线到点一段曲线，计算.
解题过程是：

6. 设是上半球面的下侧，计算曲面积分.
解题过程是：

7. 将函数展开成关于的幂级数 .
解题过程是：

四、证明题（7分）
.
证明不等式: ，其中是正方形区域：.

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