北师大版九年级上册相似总结相似模型.doc

相似模型（一）（讲义）
Ø 课前预习
1. 请证明以下结论：
①如图1，在△ABC中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC．
②如图2，在△ABC中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC．
③如图3，在△ABC中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC．
④如图4，直线AB，CD相交于点O，连接AC，BD，且
AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD．
⑤如图5，直线AB，CD相交于点O，连接AC，BD，∠B=∠C，求证：△AOC∽△DOB．
⑥如图6，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：△ADB∽△CDA，△ADB∽△CAB．

图1 　　　图2 　 图3

图4 　　 图5 　 图6

知识点睛
1. 六种相似基本模型：

DE∥BC ∠B=∠AED ∠B=∠ACD
A型
AD是Rt△ABC斜边上的高
AC∥BD
∠B=∠C

母子型
X型

当两个三角形相似且有公共边时，借助对应边成比例往往可以得到a2=bc形式的关系．
例如：“母子型”中
△ABD∽△CBA→AB2=BC·BD
△ACD∽△BCA→___________
△ADB∽△CDA→___________

1.相似、角相等、比例线段间的关系：

相似往往与_______________等信息组合搭配起来使用．多个相似之间一般会通过___________________来转移条件．一般碰到不熟悉的线段间关系时，常需要还原成____________来观察和分析．

2. 影子上墙：
______________、______________、______________是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．

△DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC

Ø 精讲精练
1. 如图，在△ABC中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，AF=8，则AC=_________，_________．

第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_________．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=2，AD=8，则CD=_________，AC=_____BC=________．
4.如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．

①请写出图中所有的相似三角形_____________________；
②若BD，则CE=________.

4. 如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，ME交BD于点G．
（1）写出图中的三对相似三角形；
（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG．

5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，给出以下三对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABO．其中相似的有_____________（填写序号）．

6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2，，则△BCD的面积是（ ）
A． B． C． D．

7. 如图，在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接BC交AD于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，则BF:FD=_____________．

第8题图 第9题图
8. 如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，则BM:DN=_____________．
9. 如图，直线l1∥l2，若AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则CE:AE=_________．

第10题图 第11题图
10. 如图，在□ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．
11. 如图所示，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．

12. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上．求证：．

13. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________．

第14题图 第15题图
14. 小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ）
A．9米 B．28米
C．米 D．米
15. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是
1.6 m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m和1 m，则塔高AB为（ ）
A．24 m B．22 m C．20 m D．18 m

15题图 16题图
16. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F．若BG:GA=3:1，BC=10，则AE=______．
17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=8，∠B=30°，P为底边BC上一点，且BP=，D为AC上一点，若∠APD=30°，则AD=________．

18.如图，在□ABCD中，E是AD延长线上一点，BE分别与AC，CD交于点G，F，求证：．

19.如图，在△ABC中，延长BC至点D，使CD=BC，取AB的中点F，连接FD交AC于点E，求的值．

【参考答案】
Ø 知识点睛
1. 角相等、比例线段；比例的传递与整合；比例形式
2. 推墙法；抬高地面法；砍树法
框内答案
框1：；．
Ø 精讲精练
1. 12；
2.
3. 4；；
4. ①△ABE∽△DAE，△DAC∽△DEA，△ABE∽△DCA，△ABC≌△GAF．
②
5. （1）△AMF∽△BGM，△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD；
（2）证明略．
6. ①②③
7. A
8. 3:2
9. 2:3
10. 1:2
11. ①②③④
12. ①②③④
13. 证明略．
14. 4.2米
15. D
16. A

10