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1、一个飞行管理问题 摘要 在某一空域里对飞机的飞行合理管理事关重大�比如乘客及机上工作人员生命财产 安全和航空公司的运作效益等。本文通过对飞机飞行管理问题的研究�得到了调整飞机 架数较少同时调整幅度均最小�平方和最小�的飞行管理最优安排的非线性模型�这样 既使得乘客所受影响达到最少�也便于飞机调整�还有利于飞机回到原来的航线�同时 还在决策时间上对模型进行了优化和调整。 本文不仅一般性地将不相撞的问题转化为欧式距离控制�而且很巧妙的将不碰撞条 件转化成简单的二次函数标准形式进行含参讨论�建立一个只含有转向角变量的模型。 并且再次很妙的具体化区域内受控时间形成矩阵�大大得简化运算
2、�节约了大量运算的 时间�便于管理人员控制操作�从而确保飞机的安全。更重要的是最后结合实际缩短了 搜索区间�并优化算法�使得决策更加高效。最后的延时检验也充分体现了模型的可靠 性。 关键字�欧氏距离 约束转化 缩短搜索区间 时间矩阵 延时检验 1 一、问题重述 在约 10000 米的高空某边长为 160 公里的正方形区域内�经常有若干架飞机作水 平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据�以便进行飞行管理。 当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时�记录其数据后�要立即计算并判断是否会 与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞�则应计算如何调整各架�包括新进入的�飞
3、机 飞行的方向角�以避免碰撞。现假定条件如下� 1�不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里� 2�飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度� 3�所有飞机飞行速度均为每小时 800 公里� 4�进入该区域的飞机在到达区域边缘时�与区域内飞机的距离应在 60 5�最多需考虑 6 架飞机� 6 �不必考虑飞机离开此区域后的状况。 公里以上� 请算 你� 对方 这向 个角 误避 差免 不碰 超撞 过的 飞0.机01管理问题建立数学模型�列出计算步骤�对以下数据进行计 度��要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域内 4 个顶点的坐标为(0,0),(1
4、60,0),(160,160),(0,160) 。 记录数据为� 飞机编号 横坐标 x 纵坐标 y 方向角�度� 1 150 40 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注�方向角指飞行方向与 x 轴方向的夹角。 试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。 1 初步分析 二、问题分析 2 根据问题容易知道�这显然是一个优化问题�当两架飞机可能发生碰撞时�即在规 定区域内某一时刻两架飞机之间的距离小于 8 公里�因此要调整飞行方向一定角度�保
5、证任意两架飞机在区域内任意时刻�两者的距离均不小于 8 公里�避免相撞。考虑到调 整角度应尽量小�可以简化飞行方向调整策略�降低调整难度�同时减轻机内乘客及工 作人员的不适。此外由此初步确定了调整目标�所有六架飞机的飞行方向调整角度均尽 量小。 2解决方案 由于所有飞机均处于 1000米得高空作水平飞行�可将飞机飞行的空域视为二维平面 xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。于是可以引入时 间变量后�确定每架飞机在任意时刻的坐标�列出任意两点的欧氏距离�令其恒大于 8 公里�则得出一个重要约束条件。再结合变化角度应小于
6、30度�即可得出约束条件� 然后运用 LINGO软件编辑程序进行求解。 为提高决策效率�在反复试验中又可对约束条件进行调整。 三、条件假设 1. 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离在以后任何一个时间里大于 8 公里� 2. 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度� 3. 所有飞机飞行速度均为每小时 800 公里� 4. 进入该区域的飞机在到达区域边缘时�与区域内飞机的距离应在 60 公里以上。即 在计算如何最优地调整各架�包括新进入的�飞机飞行的方向角时�飞行管理中心 得出合理的最优调整措施�� 5. 最多需考虑 6 架飞机。 6. 此处忽略飞机在执行
7、过程中所需耗费的时间�即假设从飞机管理中心发出的调整信 息飞机马上可以接收并执行�不存在滞后或延迟� 7. 飞行管理中心在计算飞行调整信号和发出信号所需时间内�忽略各架飞机�包括刚 8. 9. 进入的飞机�调整航向前飞行数据的变化� 假定飞机在该区域内完全依赖飞行管理中心调度� 假设飞机在飞出区域之后�飞行员可以自觉调整飞行策略�回归原始航线�即飞行 管理中心不必考虑飞机离开此区域后的状况。 3 四、符号说明 符号 含义 X 第 i i 架飞机在初始时刻的横坐标 0 X 第 j 0j 架飞机在初始时刻的横坐标 X 第 i 架飞机在 t 时刻的横
8、坐标 t i X 第 j 架飞机在 t tj 时刻的横坐标 Y 第 i 0 i 架飞机在初始时刻的纵坐标 Y 第 j 0 j 架飞机在初始时刻的纵坐标 Y 第 i 架飞机在 t t i 时刻的纵坐标 Y 第 j 架飞机在 t t j 时刻的纵坐标 � 第 i 架飞机在初始时刻飞行方向与 X 轴正向的夹 0 i � 角 第 j 架飞机在初始时刻飞行方向与 X 轴正向的夹 0j � 第 i 架飞机在 t 时刻飞行方向与 X 轴正向的夹角 角 i � 第 j 架飞机在 t 时刻飞行方向与 X 轴正向的夹角 j �� 第
9、i 架飞机飞行方向角的调整幅度 i �� 第 j 架飞机飞行方向角的调整幅度 j T 第 i 架飞机在规定区域内可能飞行的最长时间 i T 第 j j 架飞机在规定区域内可能飞行的最长时间 T T 是一个 6*6 矩阵�Tij =min{Ti �Tj } ij V 飞机的飞行速度 d 飞机 i 与飞机 j 的欧氏距离 ij 4 1 问题简化 五、模型建立与求解 首先�如果对六架飞机在区域内做实时监控�再做多次调整�则每作一次航向调整 都要进行一次决策�这将使问题复杂化�总体计算量较大�同时实际问题中计算也要耗 费MA时T间LA�B效率大大降低�飞机控制的安全性必然会降低。并且对问题所给原始数据利用 软件�程序见附录 1�作出原始航线图�如图 1 �可以粗略验证一次调整可行� 既可以避免相撞�又简单易行。 图 1 结论一�我们认为只做一次调整是优于多次调整的。 5
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