高中数学知识清单.doc

高中数学知识清单
一、集合的含义与表示
（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。
（2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”
表示）。
（3）常用数集及其表示符号
名称
自然数集
（非负整数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

（4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。

二、集合间的基本关系
表示
关系
定义
记法
集合
间的
基本
关系
相等
集合与集合中的所有元素都相同

子集
集合中任意一元素都在集合中
或
真子集
集合中任意一元素都在集合中，且集合中至少有一个元素不在集合中

空集（没有任何元素的集合）
空集是任何集合的子集

空集是任何集合的真子集

三、集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
集合和集合的所有元素，记作
集合和集合的共同元素，记作
若全集为，集合是的子集，集合除去集合中所有的元素，剩余的所有元素，记作
图形表示

意义
或
且
且
性质
(1);
(2);
(3);
(4)

(1);
(2);
(3);
(4)

(1);
(2);
(3);
(4)
(5)

知识拓展：
设有限集合中元素的个数为，则（1）
（1）的子集个数是；
（2）的真子集个数是-1；
（3）的非空子集个数是-1；
（4）的非空真子集个数是-2。

一、不等式的定义
用数学符号“ 、 、 、 、 ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。
二、不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
对称性

传递性

可加性

可乘性

的符号

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方

可开方

同正
三、比较大小的基本方法
作差法
理论依据：。
基本步骤：
（1）作差；
（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数的恒等变形）；
（3）结论（与0比较）。
四、不等式的解法
1、一元一次不等式组（）：
（1） 的解集为； （2）的解集为；
（3）的解解为；（4）的解集为
2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

二次函数
的图像

一元二次方程

的根
有两个不相等实根

有两个相等实根

没有实数根

的解集
或

的解集
或

的解集

的解集

3、绝对值不等式
（1）当时，有或；；
（2）当时，有； ；
（3）当时，； ；
（4）当时，有
或；
.
（5）当时，有
； 。
（6）当时，有
；。
4、分式不等式
（1） ；
（2）
（3）
（4）
一、函数的概念
1、定义
（1）两个非空的数集、；
（2）如果按照某种确定关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数 和它对应；
（3）称为从集合到集合的一个函数，记作。
2、函数的定义域、值域
（1）定义域：自变量的取值范围；
（2）值域：与相对应的取值范围。
3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
二、函数的相关结论
1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。
2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。
3、分段函数：自变量的取值范围不同，需要不同的对应法则。
（1）定义域：各个部分的并集；
（2）是一个函数；
（3）求，要判断自变量在哪个范围内，在代入相应的表达式。
4、求函数定义域的方法：
（1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为；分母；偶次根式下；奇次根式为；次幂底；指数为；对数 。
（2）若已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域由求出。
（3）若已知函数的定义域为，则函数的定义域为 在时的值域。
5、求函数解析式的方法
（1）待定系数法：若已知 的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确定相关系数即可；
例1、已知是一次函数，且 ，则的解析式。
（2）换元法：设 ，解出 ，代入，求的解析式即可；
（3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于 的方程组求出 ；
例2、已知函数 ，求的解析式。
（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。
例3、已知 ，对任意的实数 都有 ，求的解析式。
一、函数的单调性
1、单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数 的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ，
当 时，都有，那么就说函数在区间上是增函数。
当 时，都有，那么就说函数在区间上是增函数。
2、单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有单调性，区间叫做的单调区间。
3、判断（证明）单调性的方法
（1）图像法：在区间上，图像呈上升趋势，则函数在区间上是增函数；反之，图像呈下降趋势，则函数在区间上是减函数。
（2）利用定义证明函数单调性的步骤：
a. 任取，且；
b. 作差；
c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；
d. 定号（即判断的正负，和“0”比较）；
e. 下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）。
4、几种初等函数单调性的判断（证明）
（1）一次函数
解（证明）： 在定义域上任取,且，则

当时，有

即
故函数在上是增函数。
而当时，有

即
故函数在上是减函数。
（2）二次函数
解：单调区间为 ， ,当时，函数在是减函数；在上是增函数；当时，函数在是增函数；在上是减函数
证明函数在是减函数；在上是增函数。
证明：a. 在上任取,且，则

又

又

即
故函数在是减函数。
b.在上任取,且，则

又

又

即
故函数在是减函数。
（3）反比例函数
解：单调区间为 ，，当时，函数在和上都为减函数；当时，函数在和上都为增函数。
证明函数在上是减函数；在上是减函数。
证明：在上任取,且，则

又
又，

即
故函数在上是减函数。
（4）指数函数 ，当 时，在上是减函数；当时，在上是增函数。
证明：a. 在定义域上任取,且，则

又
即
故
所以函数 在上是减函数。
b. 在定义域上任取,且，则

又
即
故
所以函数 在上是增函数。
例1 讨论函数 在上的单调性。
解：任取，且，则

又
故函数在上为减函数。

二、函数的奇偶性
1、奇函数、偶函数的概念
奇偶性
定义
图像特点
偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个，都有 ，那么函数是偶函数。
关于 轴对称
奇函数
如果对于函数 的定义域内任意一个，都有 ，那么函数是奇函数。
关于原点对称
2、判断（证明）函数的奇偶性的步骤
（1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称；
（2）求；
（3）判断是否等于或：
a. 若，则是偶函数；
b. 若,则是奇函数；
c. 若且,则既是偶函数又是奇函数；
d. 若且,则既不是偶函数也不是奇函数；
例2 判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为要使函数有意义，要满足，即
或
解得
由于定义域关于原点不对称，所以函数既不是偶函数也不是奇函数。
（2）因为要使函数有意义，要满足
解得 且
所以函数的定义域关于原点对称。

又
，即函数是奇函数。
（3）函数的定义域为 ，关于原点对称，
当时，，
当时，，
，即函数是奇函数

三、二次函数
1、二次函数的定义
形如 的函数叫做二次函数。
2、二次函数的三种表示形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；
（3）两根式：。
3、二次函数的图象和性质

解析式

图象

定义域

值域

最值

单调性
在 上单调递减，在上单调递增
在 上单调递增，在上单调递减
奇偶性
当 时为偶函数；当时为非奇非偶函数
顶点坐标

对称性
图像关于直线对称
四、幂函数
1、幂函数的定义
形如 的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数。
2、幂函数的性质
（1）当 时，幂函数有下列性质：
a. 图像都通过点 ；
b. 在第一象限内，函数值随的增大而增大。
（2）当 时，幂函数有下列性质：
a. 图像都通过点 ；
b. 在第一象限内，函数值随的增大而减小
例1 若函数是幂函数，且满足，求（1）的函数表达式；（2）求。
解：设， ， ，即，故 ，所以，则=。
例2 已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，求的函数表达式
解：在区间上是单调增函数
，即
又
当时，不是偶函数，而当 时，是偶函数
。

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