高考数学答题万能公式及解题技巧：公式篇.doc

高考数学答题万能公式及解题技巧：公式篇
1.诱导公式
　　sin(-a)=-sin(a)
　　cos(-a)=cos(a)
　　sin(π2-a)=cos(a)
　　cos(π2-a)=sin(a)
　　sin(π2+a)=cos(a)
　　cos(π2+a)=-sin(a)
　　sin(π-a)=sin(a)
　　cos(π-a)=-cos(a)
　　sin(π+a)=-sin(a)
　　cos(π+a)=-cos(a)
　　2.两角和与差的三角函数
　　sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
　　cos(a+b)=cos(a)cosb)-sin(a)sin(b)
　　sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
　　cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
　　tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
　　tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
　　3.和差化积公式
　　sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
　　sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
　　cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)
　　cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
　　4.二倍角公式
　　sin(2a)=2sin(a)cos(b)
　　cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
　　5.半角公式
　　sin2(a2)=1-cos(a)2
　　cos2(a2)=1+cos(a)2
　　tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
　　6.万能公式
　　sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)
　　cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)
　　tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
　　7.其它公式(推导出来的 )
　　a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba
　　a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab
　　1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2
　　1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2

公式分类
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|ab|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a
-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系
X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a
注：韦达定理
判别式
b2-4a=0

注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0

注：方程有一个实根
b2-4ac<0

注：方程有共轭复数根
三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)√((1-cosA)/2)
sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))
ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注：角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
直棱柱侧面积
S=c*h
斜棱柱侧面积
S=c'*h

正棱锥侧面积
S=1/2c*h'
正棱台侧面积
S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积
S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积
S=4pi*r2

圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积
S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式
l=a*r
a是圆心角的弧度数r >0
扇形面积公式
s=1/2*l*r

锥体体积公式
V=1/3*S*H
圆锥体体积公式
V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积
V=S'L

注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式
V=s*h
圆柱

一生受用的数学公式

坐标几何
一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为
　　原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。
　　一条直线可以用方程式y=mx+c来表示，m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于 (0,
　　c)，与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x=k，x为定值。
　　通过(x0, y0)这一点，且斜率为n的直线是
　　y–y0=n(x–x0)
　　一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是
　　y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2　　 x1≠x2
　　若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于
　　tanθ=m–n/1+mn
　　半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。
　　三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球，
　　以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。
　　三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。
　　三角学
　　边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦(sine)、余弦
　　(cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。
　　sinθ=b/c　　cosθ=a/c　　tanθ=b/a
　　cscθ=c/b　　secθ=c/a　　cotθ=a/b
　　若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。
　　a=cosθ　　　　b=sinθ
　　依照勾股定理我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式：
　　cos2θ+sin2θ=1
　　三角恒等式
　　根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式(identity)：
　　tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=cosθ/sinθ
　　secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ
　　分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1，可得：
　　sec 2θ–tan 2θ=1　　及　　csc 2θ–cot 2θ=1
　　对于负角度，六个三角函数分别为：
　　sin(–θ)= –sinθ 　csc(–θ)= –cscθ
　　cos(–θ)= cosθ　　sec(–θ)= secθ
　　tan(–θ)= –tanθ　 cot(–θ)= –cotθ
　　当两角度相加时，运用和角公式：
　　sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
　　cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ
　　tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ
　　若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式：
　　sin2α= 2sinαcosα　 sin3α= 3sinαcos2α–sin3α
　　cos2α= cos 2α–sin 2α　cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα
　　tan 2α= 2tanα/1–tan 2α
　　tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α
　　二维图形
　　下面是一些二维图形的周长与面积公式。
　　圆：
　　半径= r　　　　直径d=2r
　　圆周长= 2πr =πd
　　面积=πr2　 (π=3.1415926…….)
　　椭圆：
　　面积=πab
　　a与b分别代表短轴与长轴的一半。
　　矩形：
　　面积= ab
　　周长= 2a+2b
　　平行四边形(parallelogram)：
　　面积= bh = ab sinα
　　周长= 2a+2b
　　梯形：
　　面积= 1/2h (a+b)
　　周长= a+b+h (secα+secβ)
　　正n边形：
　　面积= 1/2nb2 cot (180°/n)
　　周长= nb
　　四边形(i)：
　　面积= 1/2ab sinα
　　四边形(ii)：
　　面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2
　　三维图形
　　以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。
　　球体：
　　体积= 4/3πr3
　　表面积= 4πr2
　　方体：
　　体积= abc
　　表面积= 2(ab+ac+bc)
　　圆柱体：
　　体积= πr2h
　　表面积= 2πrh+2πr2
　　圆锥体：
　　体积= 1/3πr2h
　　表面积=πr√r2+h2 +πr2
　　三角锥体：
　　若底面积为A，
　　体积= 1/3Ah
　　平截头体(frustum)：
　　体积= 1/3πh (a2+ab+b2)
　　表面积=π(a+b)c+πa2+πb2
　　椭球：
　　体积= 4/3πabc
　　环面(torus)：
　　体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2
　　表面积=π2 (b2–a2)