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高考数学答题万能公式及解题技巧:公式篇.doc

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高考数学答题万能公式及解题技巧:公式篇 1.诱导公式   sin(-a)=-sin(a)   cos(-a)=cos(a)   sin(π2-a)=cos(a)   cos(π2-a)=sin(a)   sin(π2+a)=cos(a)   cos(π2+a)=-sin(a)   sin(π-a)=sin(a)   cos(π-a)=-cos(a)   sin(π+a)=-sin(a)   cos(π+a)=-cos(a)   2.两角和与差的三角函数   sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)   cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)   sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)   cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)   tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)   tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)   3.和差化积公式   sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)   sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)   cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)   cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)   4.二倍角公式   sin(2a)=2sin(a)cos(b)   cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)   5.半角公式   sin2(a2)=1-cos(a)2   cos2(a2)=1+cos(a)2   tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)   6.万能公式   sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)   cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)   tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)   7.其它公式(推导出来的 )   a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba   a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab   1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2   1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱 一生受用的数学公式 坐标几何 一对垂直相交于平面的轴线,可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0),称为   原点。水平与垂直方向的位置,分别用x与y代表。   一条直线可以用方程式y=mx+c来表示,m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于 (0,   c),与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x=k,x为定值。   通过(x0, y0)这一点,且斜率为n的直线是   y–y0=n(x–x0)   一条直线若垂直于斜率为n的直线,则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是   y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2   x1≠x2   若两直线的斜率分别为m与n,则它们的夹角θ满足于   tanθ=m–n/1+mn   半径为r、圆心在(a, b)的圆,以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。   三维空间里的坐标与二维空间类似,只是多加一个z轴而已,例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球,   以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。   三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。   三角学   边长为a、b、c的直角三角形,其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为:正弦(sine)、余弦   (cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。   sinθ=b/c  cosθ=a/c  tanθ=b/a   cscθ=c/b  secθ=c/a  cotθ=a/b   若圆的半径是1,则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。   a=cosθ    b=sinθ   依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ,我们都可得出下列的全等式:   cos2θ+sin2θ=1   三角恒等式   根据前几页所述的定义,可得到下列恒等式(identity):   tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ   secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ   分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1,可得:   sec 2θ–tan 2θ=1  及  csc 2θ–cot 2θ=1   对于负角度,六个三角函数分别为:   sin(–θ)= –sinθ  csc(–θ)= –cscθ   cos(–θ)= cosθ  sec(–θ)= secθ   tan(–θ)= –tanθ  cot(–θ)= –cotθ   当两角度相加时,运用和角公式:   sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ   cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ   tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ   若遇到两倍角或三倍角,运用倍角公式:   sin2α= 2sinαcosα  sin3α= 3sinαcos2α–sin3α   cos2α= cos 2α–sin 2α cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα   tan 2α= 2tanα/1–tan 2α   tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α   二维图形   下面是一些二维图形的周长与面积公式。   圆:   半径= r    直径d=2r   圆周长= 2πr =πd   面积=πr2  (π=3.1415926…….)   椭圆:   面积=πab   a与b分别代表短轴与长轴的一半。   矩形:   面积= ab   周长= 2a+2b   平行四边形(parallelogram):   面积= bh = ab sinα   周长= 2a+2b   梯形:   面积= 1/2h (a+b)   周长= a+b+h (secα+secβ)   正n边形:   面积= 1/2nb2 cot (180°/n)   周长= nb   四边形(i):   面积= 1/2ab sinα   四边形(ii):   面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2   三维图形   以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。   球体:   体积= 4/3πr3   表面积= 4πr2   方体:   体积= abc   表面积= 2(ab+ac+bc)   圆柱体:   体积= πr2h   表面积= 2πrh+2πr2   圆锥体:   体积= 1/3πr2h   表面积=πr√r2+h2 +πr2   三角锥体:   若底面积为A,   体积= 1/3Ah   平截头体(frustum):   体积= 1/3πh (a2+ab+b2)   表面积=π(a+b)c+πa2+πb2   椭球:   体积= 4/3πabc   环面(torus):   体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2   表面积=π2 (b2–a2)
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