2024-2025学年常州市“12校合作联盟”高一数学第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年常州市“12校合作联盟”高一数学第二学期期末质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列{an}为等差数列，,=1，若，则＝( )
A．-22019 B．22020 C．-22017 D．22018
2．已知数列为等比数列，且则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机事件和互斥，且,.则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则的面积是（ ）．
A． B． C．或 D．或
6．已知，是平面，m，n是直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知直线平面，直线平面，下列四个命题中正确的是（ ）．
（） （） （） （）
A．（）与（） B．（）与（） C．（）与（） D．（）与（）
8．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，则三棱锥与三棱锥的体积比为( )

A． B． C． D．
9．高一某班男生36人，女生24人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若抽出的女生为12人，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．30 D．36
10．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，已知M是AB边所在直线上一点，满足，则________.
12．已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.
13．已知向量，若，则________.
14．等差数列中，公差.则与的等差中项是_____（用数字作答）
15．已知，那么__________．
16．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:
①若则；
②若是在内的射影，，则；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；
其中正确的为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设的内角的对边分别为，且满足.
（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.
18．研究正弦函数的性质
（1）写出其单调增区间的表达式
（2）利用五点法，画出的大致图像
（3）用反证法证明的最小正周期是
19．设为正项数列的前项和，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）令，，若恒成立，求的取值范围.
20．已知函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明.
21．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据等差数列的性质和函数的性质即可求出.
【详解】
由题知
∵数列{an}为等差数列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，
∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,
∴a1010
∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．
故选A．
本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，注意：若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则 ，性质的应用.
2、A
【解析】
根据等比数列性质知：，得到答案.
【详解】

已知数列为等比数列

故答案选A
本题考查了等比数列的性质，属于简单题.
3、D
【解析】
根据题意，先求出弦长，再表示出，得到，求出数列的通项公式，再表示出，用错位相减求和求出，再求解即可.
【详解】
根据题意，圆的半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长，
所以，
当时，，所以，
时，，
所以，
得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，，
所以，
，
，
所以，
由有解，，
只需大于的最小值即可，
因为，所以，所以.
故选：D
本题主要考查求圆的弦长、由和求数列通项、错位相减求数列的和和解不等式有解的情况，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.
4、D
【解析】
根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
【详解】
与互斥

本题正确选项：
本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.
5、C
【解析】
，
∴，或．
（）当时，．
∴．
（）当时，．
∴．
故选．
6、D
【解析】
由题意找到反例即可确定错误的选项.
【详解】
如图所示，在正方体中，

取直线m为，平面为，满足，
取平面为平面，则的交线为，
很明显m和n为异面直线，不满足，选项D错误；
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以A正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以B正确；由A选项和面面垂直的判定定理可得C也正确.
本题答案为D.
本题主要考查线面关系有关命题真假的判断，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属基础题.
7、D
【解析】
∵直线l⊥平面α，若α∥β，则直线l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，即(1)正确；
∵直线l⊥平面α，若α⊥β，则l与m可能平行、异面也可能相交，故(2)错误；
∵直线l⊥平面α，若l∥m，则m⊥平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β；故(3)正确；
∵直线l⊥平面α，若l⊥m，则m∥α或m⊂α，则α与β平行或相交，故(4)错误；
故选D.
8、C
【解析】
先由题意，得到，推出，再由推出，由，进而可得出结果.
【详解】
因为底面为平行四边形，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因此.
故选C
本题主要考查棱锥体积之比，熟记棱锥的体积公式，以及等体积法的应用即可，属于常考题型.
9、C
【解析】
根据分层抽样等比例抽样的特点，进行计算即可.
【详解】
根据题意，可得，解得.
故选：C.
本题考查分层抽样的等比例抽取的性质，属基础题.
10、D
【解析】
因为，所以由于与平行，得，解得.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
由M在AB边所在直线上，则，又，然后将，都化为，即可解出答案.
【详解】
因为M在直线AB上，所以可设，
可得，即，
又，则
由与不共线，所以，解得.
故答案为：3
本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.
12、
【解析】
将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点，可知点为棱的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.
【详解】
将正三棱柱沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点.

由于，，再结合棱柱的性质，可得，

一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，
为的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，
两部分几何体的体积比为：.
故答案为：.
本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．
13、
【解析】
直接利用向量平行性质得到答案.
【详解】
，若
故答案为
本题考查了向量平行的性质，属于简单题.
14、5
【解析】
根据等差中项的性质，以及的值，求出的值即是所求.
【详解】
根据等差中项的性质可知，的等差中项是，故.
本小题主要考查等差中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
15、2017
【解析】
，故，由此得.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解方法，考查等比数列前项和的计算公式.对于函数解析式的求法，有两种，一种是换元法，另一种的变换法.解析中运用的方法就是变换法，即将变换为含有的式子.也可以令.等比数列求和公式为.
16、①②
【解析】
对四个命题分别进行判断即可得到结论
【详解】
①若，垂足为，与确定平面，，则，
，则，
，则，故，故正确
②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确
③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确
④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确
其中正确的为①②
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化简整理即可证明：为直角三角形；
（2）利用，，根据基本不等式可得：，即可求出面积的最大值.
试题解析：
解法1：（1）∵，
由正、余弦定理，得
，
化简整理得：，
∵，所以，
故为直角三角形，且；
（2）∵，
∴，
当且仅当时，上式等号成立，∴.故，
即面积的最大值为.
解法2
（1）由已知：，

又∵，
，
∴，
而，∴，
∴，
故，∴为直角三角形.
（2）由（1），∴.
∵，∴，
∴，
令，∵，∴，
∴.
而在上单调递增，
∴.
18、（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解；
（2）利用五点法作函数的图象即可；
（3）先证明，再假设存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得证.
【详解】
（1）单调递增区间为，
所以单调递增区间的表达式为
（2）列表：

描点，连线，可得函数图象如下：

（3）证明：，
假设存在，使得，即，
令，则，即；
再令，可得，得到矛盾，
综上可知的最小正周期是.
本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数的图象，考查了反证法的应用，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）代入求得，根据与的关系可求得，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证后可得最终结果；（2）由（1）可得，采用裂项相消的方法求得，可知，从而得到的范围.
【详解】
（1）由题知：，……①
令得：，解得：
当时，……②
①-②得： ∴，即
是以为首项，为公差的等差数列
经验证满足

（2）由（1）知：

即
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用与的关系证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型.
20、（1），（2）奇函数，证明见解析
【解析】
（1）将代入解析式，解方程即可.
【详解】
（1）由题知：，解得.
（2）.
，定义域为：.
，
.
所以，
所以为奇函数.
本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递增区间.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为；
（2）令，可得，
因此，函数的单调递增区间为.
本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键在于利用三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.