2024-2025学年常州市“12校合作联盟”高一数学第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年常州市“12校合作联盟”高一数学第二学期期末质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列{an}为等差数列，,=1，若，则＝( )
A．-22019 B．22020 C．-22017 D．22018
2．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机事件和互斥，且,.则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则的面积是（ ）．
A． B． C．或 D．或
6．已知，是平面，m，n是直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知直线平面，直线平面，下列四个命题中正确的是（ ）．
（） （） （） （）
A．（）与（） B．（）与（） C．（）与（） D．（）与（）
8．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，则三棱锥与三棱锥的体积比为( )

A． B． C． D．
9．高一某班男生36人，女生24人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若抽出的女生为12人，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．30 D．36
10．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，已知M是AB边所在直线上一点，满足，则________.
12．已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.
13．已知向量，若，则________.
14．等差数列中，公差.则与的等差中项是_____（用数字作答）
15．已知，那么__________．
16．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:
①若则；
②若是在内的射影，，则；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；
其中正确的为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设的内角的对边分别为，且满足.
（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.
18．研究正弦函数的性质
（1）写出其单调增区间的表达式
（2）利用五点法，画出的大致图像
（3）用反证法证明的最小正周期是
19．设为正项数列的前项和，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）令，，若恒成立，求的取值范围.
20．已知函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明.
21．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据等差数列的性质和函数的性质即可求出.
【详解】
由题知
∵数列{an}为等差数列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，
∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,
∴a1010
∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．
故选A．
本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，注意：若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则 ，性质的应用.
2、A
【解析】
根据等比数列性质知：，得到答案.
【详解】
已知数列为等比数列

故答案选A
本题考查了等比数列的性质，属于简单题.
3、D
【解析】
根据题意，先求出弦长，再表示出，得到，求出数列的通项公式，再表示出，用错位相减求和求出，再求解即可.
【详解】
根据题意，圆的半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长，
所以，
当时，，所以，
时，，
所以，
得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，，
所以，
，
，
所以，
由有解，，
只需大于的最小值即可，
因为，所以，所以.
故选：D
本题主要考查求圆的弦长、由和求数列通项、错位相减求数列的和和解不等式有解的情况，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.
4、D
【解析】
根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
【详解】
与互斥

本题正确选项：
本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.
5、C
【解析】
，
∴，或．
（）当时，．
∴．
（）当时，．
∴．
故选．
6、D
【解析】
由题意找到反例即可确定错误的选项.
【详解】
如图所示，在正方体中，

取直线m为，平面为，满足，
取平面为平面，则的交线为，
很明显m和n为异面直线，不满足，选项D错误；
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以A正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以B正确；由A选项和面面垂直的判定定理可得C也正确.
本题答案为D.
本题主要考查线面关系有关命题真假的判断，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属基础题.
7、D
【解析】
∵直线l⊥平面α，若α∥β，则直线l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，即(1)正确；
∵直线l⊥平面α，若α⊥β，则l与m可能平行、异面也可能相交，故(2)错误；
∵直线l⊥平面α，若l∥m，则m⊥平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β；故(3)正确；
∵直线l⊥平面α，若l⊥m，则m∥α或m⊂α，则α与β平行或相交，故(4)错误；
故选D.
8、C
【解析】
先由题意，得到，推出，再由推出，由，进而可得出结果.
【详解】
因为底面为平行四边形，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因此.
故选C
本题主要考查棱锥体积之比，熟记棱锥的体积公式，以及等体积法的应用即可，属于常考题型.
9、C
【解析】
根据分层抽样等比例抽样的特点，进行计算即可.
【详解】
根据题意，可得，解得.
故选：C.
本题考查分层抽样的等比例抽取的性质，属基础题.
10、D
【解析】
因为，所以由于与平行，得，解得.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
由M在AB边所在直线上，则，又，然后将，都化为，即可解出答案.
【详解】
因为M在直线AB上，所以可设，
可得，即，
又，则
由与不共线，所以，解得.
故答案为：3
本题考查向量的减法和向量共线的利用，属于基础题.
12、
【解析】
将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点，可知点为棱的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.
【详解】
将正三棱柱沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点.

由于，，再结合棱柱的性质，可得，

一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，
为的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，
两部分几何体的体积比为：.
故答案为：.
本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．
13、
【解析】
直接利用向量平行性质得到答案.
【详解】
，若
故答案为
本题考查了向量平行的性质，属于简单题.
14、5
【解析】
根据等差中项的性质，以及的值，求出的值即是所求.
【详解】
根据等差中项的性质可知，的等差中项是，故.
本小题主要考查等差中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
15、2017
【解析】
，故，由此得.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解方法，考查等比数列前项和的计算公式.对于函数解析式的求法，有两种，一种是换元法，另一种的变换法.解析中运用的方法就是变换法，即将变换为含有的式子.也可以令.等比数列求和公式为.
16、①②
【解析】
对四个命题分别进行判断即可得到结论
【详解】
①若，垂足为，与确定平面，，则，
，则，
，则，故，故正确
②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确
③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确
④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确
其中正确的为①②
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化简整理即可证明：为直角三角形；
（2）利用，，根据基本不等式可得：，即可求出面积的最大值.
试题解析：
解法1：（1）∵，
由正、余弦定理，得
，
化简整理得：，
∵，所以，
故为直角三角形，且；
（2）∵，
∴，
当且仅当时，上式等号成立，∴.故，
即面积的最大值为.
解法2
（1）由已知：，
又∵，
，
∴，
而，∴，
∴，
故，∴为直角三角形.
（2）由（1），∴.
∵，∴，
∴，
令，∵，∴，
∴.
而在上单调递增，
∴.
18、（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解；
（2）利用五点法作函数的图象即可；
（3）先证明，再假设存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得证.
【详解】
（1）单调递增区间为，
所以单调递增区间的表达式为
（2）列表：

描点，连线，可得函数图象如下：

（3）证明：，
假设存在，使得，即，
令，则，即；
再令，可得，得到矛盾，
综上可知的最小正周期是.
本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数的图象，考查了反证法的应用，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）代入求得，根据与的关系可求得，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证后可得最终结果；（2）由（1）可得，采用裂项相消的方法求得，可知，从而得到的范围.
【详解】
（1）由题知：，……①
令得：，解得：
当时，……②
①-②得： ∴，即
是以为首项，为公差的等差数列
经验证满足

（2）由（1）知：

即
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用与的关系证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型.
20、（1），（2）奇函数，证明见解析
【解析】
（1）将代入解析式，解方程即可.
【详解】
（1）由题知：，解得.
（2）.
，定义域为：.
，
.
所以，
所以为奇函数.
本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递增区间.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为；
（2）令，可得，
因此，函数的单调递增区间为.
本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键在于利用三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.