东北师范大学附属中学等六校2024-2025学年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

东北师范大学附属中学等六校2024-2025学年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={x︱x>－2}且，则集合B可以是（ ）
A．{x︱x2>4 } B．{x︱ }
C．{y︱} D．
2．已知表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知向量，则与夹角的大小为( )
A． B． C． D．
4．已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为（ ）
A．-4 B．4 C． D．0
5．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
6．在正项等比数列中，，为方程的两根，则（　　）
A．9 B．27 C．64 D．81
7．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知之间的一组数据如下：

1
3
4
7
8
10
16

5
7
8
10
13
15
19
则线性回归方程所表示的直线必经过点
A．（8，10） B．（8，11） C．（7，10） D．（7，11）
9．已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下列不等式中正确的是( )
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．
12．在四面体ABCD中，平面ABC，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．
13．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．

14．在数列中，已知，，记为数列的前项和，则_________.
15．在中，，，，则的面积等于______.
16．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17．如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、、按顺时针方向排列）

（1）若等边边长为，，试写出关于的函数关系；
（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？
18．的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
19．已知中，角的对边分别为.已知，.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)设点满足，求线段长度的取值范围.
20．已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）在中，若，且，求的值.
21．已知，.求和的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
A、B={x|x＞2或x＜-2}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合题意； 
B、B={x|x≥-2}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意； 
C、B={y|y≥-2}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意； 
D、若B={-1，0，1，2，3}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x＞-2}=A，与题意相符， 
故选D．
2、D
【解析】
利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断，即可得到答案．
【详解】
对于A，当时，则与不平行，故A不正确；
对于B，直线与平面平行，则直线与平面内的直线有两种关系：平行或异面，故B不正确；
对于C，若，则与不垂直，故C不正确；
对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确；
故答案选D
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用，属于中档题．
3、D
【解析】
。
分别求出，，，利用即可得出答案.
【详解】
设与的夹角为

故选：D
本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.
4、B
【解析】
根据等比中项可得，再根据，即可求出结果.
【详解】
由等比中项可知，，又，所以.
故选:B.
本题主要考查了等比中项的性质，属于基础题.
5、C
【解析】
根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.
【详解】
如图所示：

在正方体中，，
所以直线所成角，
由正方体的性质，知，
所以.
故选：C
本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.
6、B
【解析】
由韦达定理得，再利用等比数列的性质求得结果.
【详解】
由已知得
是正项等比数列

本题正确选项：
本题考查等比数列的三项之积的求法，关键是对等比数列的性质进行合理运用，属于基础题.
7、B
【解析】
设的最大角为，最小角为，可得出，，由题意得出，由二倍角公式，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值.
【详解】
设的最大角为，最小角为，可得出，，
由题意得出，，所以，，
即，即，
将，代入得，解得，，，
则，故选B.
本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.
8、D
【解析】
先计算的平均值，得到数据中心点，得到答案
【详解】
，
线性回归方程所表示的直线经必经过点，即（7，11）.
故答案选D
本题考查了回归方程，回归方程一定过数据中心点.
9、C
【解析】
由复合函数单调性及函数的定义域得不等关系．
【详解】
由题意，解得．
故选：C．
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意对数函数的定义域．
10、D
【解析】
根据不等式的性质逐一判断即可得解.
【详解】
解：对于选项A，若，，不妨取，则，即A错误；
对于选项B，若，当时，则，即B错误；
对于选项C，若，不妨取，则，即C错误；
对于选项D，若，则，即， ，即D正确，
故选：D.
本题考查了不等式的性质，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4π
【解析】
利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.
【详解】
由，解得．．解得．
，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．
故答案为：4π．
本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.
12、
【解析】
易得四面体为长方体的一角,再根据长方体体对角线等于外接球直径,再利用对角线公式求解即可.
【详解】
因为四面体中,平面,且,.故四面体是以为一个顶点的长方体一角.设则因为四面体的外接球的表面积为,设其半径为,故.解得.
故四面体的体积.
故答案为：
本题主要考查了长方体一角的四面体的外接球有关问题,需要注意长方体体对角线等于外接球直径.属于中档题.
13、1
【解析】
试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
14、
【解析】
根据数列的递推公式求出该数列的前几项，找出数列的周期性，从而求出数列的前项和的值.
【详解】
对任意的，，.
则，，，，，，所以，.
，且，
，故答案为：.
本题考查数列递推公式的应用，考查数列周期性的应用，解题时要结合递推公式求出数列的前若干项，找出数列的规律，考查推理能力和计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
先用余弦定理求得，从而得到，再利用正弦定理三角形面积公式求解.
【详解】
因为在中，，，
由余弦定理得，
所以
由正弦定理得
故答案为：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16、
【解析】
联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.
【详解】
由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.
故答案为4
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
【解析】
（1）根据余弦定理可求得
（2）先表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．
【详解】
（1）由余弦定理得
则
（2）四边形OACB的面积＝△OAB的面积+△ABC的面积
则△ABC的面积
△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ＝4sinθ
四边形OACB的面积4sinθ=
sin（θ﹣）
∴当θ﹣＝，
即θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
本题考查利用正余弦定理求解面积最值，其中准确列出面积表达式是关键，考查化简求值能力，是中档题
18、 (1) ；(2)
【解析】
（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为，再利用，可知，最后化简求值；
（2）利用余弦定理可求得，代入求面积.
【详解】
（1）由已知以及余弦定理得：
所以
,

（2）由题知，

本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视的变形使用.
19、 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
（I）利用数量积的定义和三角形面积公式可求得，从而得角；
（II）由得，平方后可求得，即中线长，结合可得最小值，从而得取值范围．
【详解】
(Ⅰ)因为，所以
因为，所以得以
两式相除得
所以
(Ⅱ)因为，所以
因为，
所以
所以
所以．
当且仅当时取得等号
所以线段长度的取值范围时.
本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的线性运算、三角形面积公式，解题关键是把中线向量表示为，这样把线段长度（向量模）转化为向量的数量积．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）先将函数化简整理，得到，根据，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果；
（2）令，得到或，根据，，得出，，求出，根据正定理，即可得出结果.
【详解】
（1）

因为，所以，因此；
故函数在区间上的最大值；
（2）因为，由（1），令，
所以或，
解得：或，
因为，所以，，
因此，
由正弦定理可得：.
本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型.
21、，
【解析】
把已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系化简，可得的值，同时由与的值可判断出，，计算出的值，可得的值.
【详解】
解： ，两边同时平方可得：，
又，，∴
∴，
∴
同时主要考查同角三角函数关系式的应用，相对不难，注意运算的准确性.