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第四章《圆与方程》章末测试题答案与提示
一． 选择题
1－4. DDAB 5－8. BBAA 9－12．CCAB 提示：
1．因为方程表示圆，所以，解得．
2．因为以（5，6）和（3，－4）为直径端点，所以圆心为（4，1），半径为．
3．提示一：由圆的方程，解出交点的坐标，由直线方程的两点式，得出直线方程．
提示二：两圆的方程相减，得出直线方程．
4．因为曲线x2+y2+a2x+(1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，所以直线y–x=0过圆心．
5．提示一：将直线方程代入圆的方程，根的判别式大于0．
提示二：圆心到直线的距离小于圆的半径．
2、6．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，整理得．
7．两圆圆心分别为（-2，2），（2，5），所以圆心距为5，两圆半径为2，4，所以两圆位置关系为：相交．其公切线为两条．
8．提示一：设圆心为，半径为，则，，解出，即可．提示二：设为圆的一般方程，代入解出．
9．圆心到直线的距离为 ，圆的半径为1，由勾股定理，得弦长为1．
10．可看成圆上的点与原点的斜率，画图可知，取值范围是 ．
11．因点（）是圆：内一点，故．直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，其与直线平行圆心到直线的距离，与圆相离．
12．曲线x=表示：圆的轴右侧部分，直线y = x + b与曲线x=有且仅
3、有一个公共点，则或者相交一个交点，此时大于-1小于等于1；或者两者相切此时．
二．填空题
13．（0，0，3）； 14．； 15．； 16．4个．提示：
13．设为（0，0,Z）则，解得Z=3．
14．弦的中点到圆心的距离不变为4，故其轨迹为．
15．过P（1，2）的直线l把圆分成两个弓形当其中劣孤最短时，P为直线截圆所成弦的中点，由斜率公式得出直线l的斜率，的方程为．
16．直线4x-3y=2过圆的圆心，圆的半径为，因此，圆上有4个点到直线4x-3y=2的距离为．
三．解答题
17．解法1： 设切线的斜率为k，由点斜式有：y +7 = k(x- 1)，即y =
4、k(x- 1) –7 ①
将①式代入圆方程 得：，整理得：
，解得 或
∴切线方程为：4x-3y-25 = 0或3x + 4y + 25 = 0 ．
解法2 ： 设所求切线斜率为k，∴所求直线方程为：y+7= k(x- 1)
整理成一般式为：kx – y – k - 7 = 0，∴，
化简为 0，∴ 或
切线方程为：4x - 3y - 25 = 0或3x + 4y + 25 = 0．
18．解法1：设直线的方程为y-5 = k(x-5),且与圆C相交于、,则有
，消去y得
∴，解得：k>0.
，
由斜率公式，得：
∴
两边平方，整理得：，解得：
5、或K=2合题意．
∴直线 的方程为：x - 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0．
解法2：如图所示， 是圆心到直线的距离，是圆的半径， 是弦长的一半，在中，， ，
∴，解得或k=2．
∴直线 的方程为：x-2y +5 = 0或2x-y-5=0．
19．解法1： 设所求圆方程为 ，则依题意有
，解方程组得a=1,b=-4,，
所求圆的方程为 ．
解法2： 由于圆心在直线 上，又在过切点(3，－2)与切线x+y-1=0垂直的直线y+2=(x -3)，即x-y-5=0上，解方程组
可得圆心(1，－4)，于是所求圆的方程为．
20．解：以AB所在直线为x轴，
6、线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A（－5，0），B（5，0）.设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品的费用较低，并设A地的运费为3a元/km，则B地运费为a元/km. 由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费 ，
即，整理得. 所以，以点C为圆心，为半径的圆就是两地居民购货的分界线. 圆内的居民从A地购货费用较低，圆外的居民从B地购货费用较低，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A、B两地之一购货．
21．解：圆C化成标准方程为:
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
由于CM⊥L，∴kCM×kL=－1 ∴kCM=，
即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
直线L的方程为y－b=x－a，即x－y+b－a=0 ∴ CM=
∵以AB为直径的圆M过原点，∴
，
∴ ② 把①代入②得 ，∴
当此时直线L的方程为：x－y－4=0；当此时直线L的方程为：x－y+1=0
故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
22．解：设圆的方程为：
当时，,
∵ ∴, ∴,
, ∴①
当时，∵
∴∴②
由①、②得：又∵到的距离为
∴∴∴或
∴或∴或
∴或．
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