1、第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
潮安区实验学校 陈少丽
出示目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.
预习导学
自学指导 阅读教材第20至21页探究3，完成预习内容.
知识探究
如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0
2、1 cm)
分析：封面的长宽之比是27∶21=9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a).
点拨 怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试.
自学反馈
要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？
解：设镜框边的宽度为x cm，则有(29+2x)(22+2x)=(14+1)×(29×22)，
即4x2+102x-1
3、59.5=0，
解得x1=1.48，x2=-26.98(舍去).
答：镜框边的宽度应是1.48cm.
点拨 本题和上题一样，利用矩形的面积公式作为相等关系列方程.
合作探究
活动1 动手试一试1
如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
动手试一试2
如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式;（2
4、如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
解：设道路宽为x米，
则有
化简，得:
解得：x1=35，x2=1，
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答：马路的宽为1 m.
点拨 这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩
5、形.
活动2跟踪训练
A
B
C
D
1. 如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
解:设小路宽为x米，
依题意得：
化简得：
答:小路的宽为3米.
2.用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？如能，说明围法.
(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面
6、积为多少？
解：(1)设此长方形的宽为x cm，则长为(20-x)cm.
根据题意，得x(20-x)=75.
解得：x1=5，x2=15(舍去).
答：此长方形的宽是5 cm.
(2)不能.由x(20-x)=101，即x2-20x+101=0，知Δ=202-4×101=-4<0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形.
(3)S=x(20-x)=-x2+20x. 由S=-x2+20x=-(x-10)2+100知当x=10时，S的值最大，最大面积为100 cm2.
点拨 怎样解决(2)中的能与不能的问题；用配方法解决第(3)问.
活动3课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.
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