高一高中等差数列专题.docx

等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项及它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数
称为等差数列的公差.
2.通项公式及前项和公式
⑴通项公式，为首项，为公差.
⑵前项和公式或.
3.等差中项
如果成等差数列，那么叫做及的等差中项.
即：是及的等差中项，，成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；(,是常数)；是常数，)
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
⑹当项数为，则；
当项数为，则.
6.判断或证明数列是等差数列的方法有：
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列；
⑶通项公式法：（是常数）是等差数列；
⑷前项和公式法：（是常数，）是等差数列.
1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质.
2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题.
3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题.
例题1已知,且和都是等差数列，则
练习1已知函数则 ① ；
② .

例题2 ⑴已知为等差数列的前项和，，求；
⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.

练习2 已知为等差数列的前项和，.
求证：数列是等差数列.

例题3 已知为数列的前项和，；数列满足：，
，其前项和为
⑴求数列、的通项公式；
⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.

练习3.已知为数列的前项和，，.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

例题4 已知等差数列中，.
⑴求数列的通项公式；
⑵若数列满足，设，且，求的值.
练习4已知为等差数列的前项和，
⑴当为何值时，取得最大值；
⑵求的值；
⑶求数列的前项和

例题5已知数列满足
⑴证明：数列是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
⑶若数列满足证明是等差数列.

练习5.设数列中，，则通项 .

家庭作业
一、选择题：
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是(　　)
A．S7　　　 B．S8 C．S13 D．S15
2．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为(　　)
A．48 B．49 C．50 D．51
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为(　　)
A. B. C. D.
5．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是(　　)
A.34　　　　B．－34C．－67 D．－1
6．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　)
A．0 B．37 C．100 D．－37
7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝an＋1•an，那么a31等于(　　)

A．－358 B．－259 C．－130 D．－261
8．若数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列是(　　)
A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列
9．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30 C．31 D．64
二、填空题：
10．在等差数列{an}中，a3＋a5＝24，a2＝3，则a6＝________.
11．已知等差数列{an}中，a2及a6的等差中项为5，a3及a7的等差中项为7，则an＝________.
12．在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n＝________.
13．若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a＋b的值是________．
15．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
16．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.
三、解答题：
17、等差数列中，已知，试求n的值

18、已知：等差数列{}中，=14，前10项和．
（1）求； （2）将{}中的第2项，第4项，…，第项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前项和．

19、已知各项均为正数的数列的首项，且，数列是等差数列，首项为，公差为2,其中.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.

20、已知等差数列的前项和为，a2=4，S5=35．
（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和

21．已知：f(x)＝－，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn在曲线y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an>0.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足＝＋16n2－8n－3，问：当b1为何值时，数列{bn}是等差数列．

22．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95.
(1)求a1，a2；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

23．设f(x)＝(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.
(1)证明数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．

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