数字信号处理课后答案.doc

信号进行等间隔T采样，采样频率rad/s，采样后所得采样信号经理想低通滤波器进行恢复，已知

今有两个输入信号，对应的输出信号分别为，如题1.5图所示，问有没有失真，为什么？

题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器
解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：

，，，折叠频率为，而滤波器对的信号通过，因此有如下图：

结论：1）不失真、失真。2）输出信号中存在两种频率：、
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1.6已知连续时间信号是频率为300Hz、400Hz、1.3KHz和4.3KHz的正弦信号的线性组合。现以2KHz的采样频率对进行采样。若恢复滤波器是一截止频率为900Hz的理想低通滤波器，试确定通过恢复滤波器后的输出信号中的各频率分量。
解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：

滤波后信号中的频率分量为：300Hz、400Hz、700Hz。
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1.7已知一模拟恢复信号的频谱如题1.7图所示。对其等间隔T采样所得离散时间信号（序列）为。
(1)当采样间隔时，画出序列的频谱图形。
(2)试确定采样信号频谱不混叠的最低采样频率，并画出此时的频谱图形。
(3)画出由(3)中的序列恢复的框图（可用复理想低通滤波器）。

题1.7图 的频谱图形
解：采样间隔为，因此采样频率为。

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第二章
作业题 答案
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2.1将序列表示为及延迟的和。
解：首先将表示为单位脉冲序列的形式：

对于单位脉冲函数，用单位阶跃序列表示，可得：

将上式带入到的单位脉冲序列表达式中，可得：

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2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。
(1)
(2)
(5)
解：理论分析详见P18性质7）周期序列
题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号，分析其周期性，则需判断：

1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。
观察（1）、（2）、（5），依次为：、、，从而可知（1）为非周期，（2）、（5）为周期序列。
（2）中，，因此周期。
（5）中，第一部分周期为，第二部分周期为，因此序列周期为。
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2.9试确定下列系统是否为线性时不变系统？
(1) 。
(2) ， m为正整数。
解：利用线性时不变系统定义、性质分析。
（1）
线性分析：

因此为线性系统。
时不变分析：

而系统输入为时，

得：，因此为时变系统。
综上，为线性时变系统。
（2）
线性分析：

因此为线性系统。
时不变分析：
而系统输入为时，

得：，因此为时变系统。
综上，为线性时变系统。
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2.11试求题2.11图所示线性时不变系统的单位脉冲响应，图中

题2.11图  线性时不变系统
如果输入序列，求该系统的输出序列。
解：此题涉及到了线性时不变系统的输入、输出关系，即：

以及线性卷积的性质：交换律、结合律、分配律。
系统的输入输出关系可表示为：

将进行变形，尽量表示为单位脉冲序列的形式，以方便运算，则：

此时注意：

，与之卷积实质是序列本身与序列右移一个单位所得新序列的差。
与不宜合并一起然后与求线性卷积，应该分别与求线性卷积，从而：

因此，

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2.15设系统的差分方程为

试分析该系统是否为线性、时不变系统。
解：
1、根据条件可知：

2、根据上式判断：
=>系统为线性系统
时变性分析与2.9（2）题相同，，为时变系统。
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2.18线性时不变系统的差分方程为

若系统是因果的，试用递推法求系统的单位脉冲响应。
解：
令，则得：

因为系统为因果系统，因此：

故：

以此为契机，依次递推可得：

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2.19如果线性时不变系统的单位脉冲响应为

求系统的单位阶跃响应。
解：
将用表示，则：

由于系统具有线性时不变性，因此当系统输入为时，根据线性时不变性的性质，系统输出为：

因此输入为单位阶跃序列时，系统的输出为：

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第三章
作业题 答案
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3.2设是序列的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。
（4）
解：利用DFT的定义进行求解。
（这是一种错误的解法，正确的如下所示。）
（注意，此处n为奇数的项为零。）
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3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。

解：利用DTFT的定义和性质进行求解。

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3.4设是一有限长序列，已知

它的离散时间傅里叶变换为。不具体计算，试直接确定下列表达式的值。
（3）
解：不计算，解法如下：

令n=0，则：

因此,

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3.11证明:
　　（1）若序列是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换是的实偶函数。
　　（2）若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。
解：此题求解需要利用DTFT的性质和
首先，（1）当为实偶序列时：

根据DTFT的性质，可知：

因此：

因此，为的偶函数。
此外，DTFT性质，

因此，为实函数。
综上，为的实偶函数。
（2）利用同样的性质可以证明若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。
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3.16若序列是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换的实部为

求序列及其离散时间傅里叶变换。
解：此处的条件为：是因果序列。因此此题的求解必然使用因果序列的对称性。
注意：此处并没有提及为实序列，因此，此题需加如条件为实序列。

注意，在常见序列DTFT中，。
根据位移特性，。
因此，

因此可得：

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3.17若序列是实因果序列，，已知其离散时间傅里叶变换的虚部为

求序列及其离散时间傅里叶变换。
解：

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3.21 试计算下列各序列的z变换和相应的收敛域，并画出各自相应的零极点分布图。
（5）
解：

其中，零点为；
极点为：，。
以，，为例，则，，。
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3.22 试计算下列各序列的Z变换及其收敛域。
（7）
解：
此处注意： 左边序列。
Z变换的性质：
因此：

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3.28 已知序列的Z变换为：

（1） 试确定所有可能的收敛域；
（2） 求（1）中所有不同收敛域时所对应的序列。
解：（1）极点有两个：，
因此收敛域有三种可能：，，

（2）

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3.43 设两个线性时不变系统的差分方程和初始条件分别为：
（1）
（2）
若输入序列，分别求两个系统的全响应。
解：即本章3.5.4的内容。
全响应有稳态相应和暂态相应构成。
由上式可知，求解的单边Z变换，则：

因此，对于有：

（1），在此情况下，有：
令，则è
è
由于输入，因此。

è
（2）
è输入，因此。

è
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3.44讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统

（1） 令系统因果稳定的a值范围是多少？
（2） 如果0<a<1画出的零极点分布图，并标出收敛域；
（3） 在z平面上用图解法证明系统是一个全通系统，及系统的频率响应为以常数。
解：
（1），其中，极点为，零点为。
因果系统其系统函数的极点分布在某个圆内，收敛域是这个圆的外部。
稳定系统的系统函数的收敛域包含单位圆，而收敛域中没有极点。

因果稳定系统的系统函数的所有极点一定分布在单位圆内。
因此，的范围为：。
（2）以为例，则零极点分布为：

（3）
公用，且，因此。
%%
3.45若序列是因果序列，其离散时间傅里叶变换的实部为

求序列及其离散时间傅里叶变换。
解： T实部对应的偶对称序列
è
对上式求解的反变换，即，
，
由于为因果序列，因此为双边序列，收敛域取。
通过留数法求解，则：
，在c内有极点a，则：

，则：
，在c内有极点a、0。

又有，因此：

同时，得到

第四章练习题答案
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4.3 &nbsp;周期序的共轭对称序列和共轭反对称序列分别表示为

试证明

证明：利用DFS的共轭对称性
     因为
所以

同理

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4.6  设序列的N点离散傅里叶变换为。现已知下列各分别求其离散傅里叶逆变换。
（3）               （4）
解离散傅里叶逆变换定义
（3）

（4）

上式中的结果来于：
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4.9已知是长度为N的有限长度序列，其N点离散傅里叶变换为。现将序列的长度添零扩大m倍，得长度mN的有限长序列，即

其中，m为正整数。试求用表示的序列的mN点离散傅里叶变换。
解：

所以:
整数时，
注意：整数时，是的加权和，即
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4.10 已知是长度为N的有限长序列，其N点离散傅里叶变换为。现将序列的每二点之间补进m-1个0值，得长度为mN的有限长序列，即

其中，m为正整数。试求用表示的序列的mN点离散傅里叶变换。
解：

注意：，所以，不正确。
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4.13证明：若序列实偶对称，即，则也实偶对称。
若序列实奇对称，即，则是纯虚数，并奇对称。
解：

令进行变量替换，则

又因为为实偶函数，所以,所以

可将上式写成

所以：
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4.24  设长度为和的两个序列分别为

（1） 求线形卷积
（2） 求循环卷积
（3） 试用循环卷积的方法计算出线形卷积的结果。
解：（3）补9个零，补4个零，用循环卷积求解
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第五章练习题答案
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　　5.8 已知复序列的8点DFT为，其值为

不计算的离散傅里叶逆变换（IFFT），试求实序列和的8点DFT和。
解：利用DFT的共轭对称性

所以

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5.9 设和是长度为N的两个实序列。已知，。现在希望根据和求和，为了提高运算效率，试设计一种算法，用一次N点IFFT来完成。
解：利用DFT的线性，课堂中讲过的
构造序列
对作一次N点IDFT可得序列，
又根据DFT的线性性质：线性组合的反变换等于反变换的线性组合

而,都是实序列

第六章练习题答案
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　　6.3 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。通带截止频率，阻带截止频率，通带最大衰减，阻带最小衰减。
解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：
（1）根据模拟滤波器的设计指标,和,，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N。
（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB截止频率。
（3）按照(6.3.13)式，求出N个极点，将极点代入(6.3.14)式得滤波器的系统函数。
****************

       取
3dB截止频率：

去归一化
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　　6.10 利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为，通带3dB带宽为的模拟带通滤波器。
解: 根据滤波器的阶数N，直接查表6.3.1，得到归一化（）的极点和归一化的系统函数

然后利用(6.3.9)式，得到3dB截止频率为的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数。
                                    nbsp;   (6.3.9)
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6.12 设模拟滤波器的系统函数为：

用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数，并确定数字滤波器在处的频谱混叠失真幅度与采样间隔T的关系。
解：模拟滤波器的系统函数与数字滤波器的系统函数的转换关系

****************

求
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6.25 利用模拟低通巴特沃斯滤波器，分别采用脉冲响应不变法和双线性变换法设计数字低通滤波器，要求，，，。采样间隔。
解：用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的设计步骤为：
(1)确定采样间隔T。为方便常取T=1。
(2)利用模拟频率与数字频率之间的关系
                                   （6.5.13）
按给定的数字滤波器频率指标，确定模拟滤波器的频率指标：
，
(3)根据指标，设计模拟滤波器。
(4)用脉冲响应不变法，将模拟滤波器变换成数字滤波器。

双线性变换法设计IIR数字滤波器的设计步骤为：
(1)确定参数T。使左右比较适当，不宜取太大或太小的数值。
(2)将数字滤波器的边界频率，转换为模拟滤波器的边界频率，，转换公式为

(3)按照模拟滤波器技术指标， ，和 设计模拟滤波器。
(4)用双线性变换法将模拟滤波器变换为数字滤波器，即

***************
脉冲响应不变法：
（1）T=1s
（2），
，
（3）巴特沃斯滤波器
     确定阶数，取8
确定3dB截止频率
k=1,2,……N  求出极点
   模拟滤波器系统响应函数
（4）    T=1s
双线性变换法：
（1） T=1s
（2）

         (3) ,取N=7
(4)     T=1s
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　　6.27 三阶数字低通切比雪夫滤波器的系统函数为

通带截止频率，通带最大衰减。要求将其变换成通带截止频率的数字低通滤波器。
解：(1) 确定，
（2）计算
（3）
即可
第八章练习题答案
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8.1  设线性时不变系统的输入序列为，输出序列为，其差分方程为

求其系统函数，并分别画出该系统的直接型、级联型和并联型算法结构。
解：
移项  
Z变换

（1） 直接型
（2） 级联型
（3） 并联型，将进行部分分式展开

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8.6   题8.6图画出了10中不同的系统算法结构流图，试分别求出它们的系统函数。

直接1型                        直接2型

直接1型      并联型，内直接1型

转置型     级联型 直接1型

直接2型      直接分析图
级联型 直接2型，右边分子项 常数项不加负号 直接1型 右边分母项 常数项加负号  
 并联型 直接2型
                    题8.6图    10种不同系统的算法结构                              

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　　8.14  已知FIR数字滤波器的系统函数为

试画出该滤波器的直接型算法结构和线性相位算法结构。