中考数学总复习(北师大版)基础讲练第7讲不等式与不等式组.doc

第7讲　不等式与不等式组

考纲要求
备考指津
1.了解不等式(组)有关的概念．
2．理解不等式的基本性质；会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．
3．能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
　　不等式(组)在中考中的题型以选择、填空、解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解为主．而紧密联系日常生活实际的不等式(组)的应用，更是中考的热点内容，且分值高，难度大，综合性强．

考点一　不等式的有关概念及其性质
1．不等式的有关概念
(1)不等式：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．
(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．
(3)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2．不等式的基本性质
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变，即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＜b，且c＞0，则ac＜bc.
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＜b，且c＜0，则ac＞bc.
考点二　一元一次不等式(组)的解法
1．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的基本步骤：去分母去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
3．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
4．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．
5．一元一次不等式组解集的确定方法
若a＜b，则有：
(1)的解集是x＜a，即“同小取小”．
(2)的解集是x＞b，即“同大取大”．
(3)的解集是a＜x＜b，即“大小小大中间夹”．
(4)的解集是空集，即“大大小小无解答”．
考点三　不等式(组)的应用[来源:]
1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
2．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写出答案(包括单位名称)．

1．若a＞b，c＜0，则下列四个不等式中成立的是(　　)．
A．ac＞bc B．＜ C．a－c＜b－c D．a＋c＜b＋c
2．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如下图，则该不等式组的解集是(　　)．

A．－1≤x＜3 B．－1＜x≤3 C．x≥－1 D．x＜3
3．不等式组的解集是(　　)．
A．－＜x≤2 B．－3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜－3
4．若a＜0，关于x的不等式ax＋1＞0的解集是(　　)．
A．x＞ B．x＜ C．x＞－ D．x＜－
5．某汽车租赁公司要购轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．
(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元．假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1 500元，那么应选择以上哪种购买方案．

一、不等式的性质
【例1】 如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是(　　)．
A．ab＞0 B．a＋b＜0 C．＜1 D．a－b＜0
解析：由a＜b＜0知：a，b同号，均为负数，由两数相乘，同号得正，异号得负知A选项正确；由同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加知B选项正确；由题意可知，|a|＞|b|＞0，同时，根据不等式的基本性质可知＞0，因此＞1，C错；|a|＞|b|，a＜b＜0，则a－b＜0，D正确．
答案：C

不等式的基本性质是不等式变形的依据，是我们应掌握的基本知识．特别要注意的是，不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．
二、不等式(组)的解集的数轴表示
【例2】 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)．

解析：由(1)得x＜2；由(2)得x≥－1，所以－1≤x＜2.
根据“大小小大中间夹”，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．可知B正确．
答案：B

不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左．
三、不等式(组)的解法
【例3】 (1)解不等式x－4＜3(x＋1)；
(2)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
解：(1)去分母3x－8＜6(x＋1)，
去括号，得3x－8＜6x＋6，
移项，得－3x＜14，
系数化为1得x＞－；
(2)
解不等式①，得x≥－1.
解不等式②，得x＜3.
在同一数轴上表示不等式①②的解集如下：

∴原不等式组的解集为－1≤x＜3.

1．解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘(或除)以一个负数，要改变不等号的方向．
2．解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分．解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误．
四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【例4】 关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是(　　)．
A．－5≤a≤－ B．－5≤a＜－ C．－5＜a≤－ D．－5＜a＜－
解析：解原不等式组，得2－3a＜x＜21.
由已知条件可知2－3a＜x＜21包含4个整数解，这4个整数解应为17,18,19,20，这时2－3a应满足16≤2－3a＜17，解得－5＜a≤－，故应选C．
答案：C

根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围，解决此类问题时，一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集，再根据已知不等式(组)的解集情形，求出字母的取值范围．
若不等式组有解，则a的取值范围是(　　)．
A．a＞－1 B．a≥－1 C．a≤1 D．a＜1
五、不等式(组)的应用
【例5】 某家电商场计划用32 400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：

(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？[来源:]
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
解：(1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为15－2x)台．依题意，
得
解得6≤x≤7.
∵x为正整数，∴x＝6或7.
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
(2)方案1需补贴：(6×2 100＋6×2 500＋3×1 700)×13%＝4 251(元)；
方案2需补贴：(7×2 100＋7×2 500＋1×1 700)×13%＝4 407(元)；
∴国家财政最多需补贴农民4 407元．

利用不等式(组)解决实际问题，关键抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．

1．(2012山东临沂)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)．
[来源:]
2．(2011山东日照)若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式(a－1)x＜a＋5成立，则a的取值范围是(　　)．
A．1＜a≤7 B．a≤7 C．a＜1或a≥7 D．a＝7
3．(2011四川眉山)关于x的不等式3x－a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是__________．
4．(2011广东湛江)某公司为了开发新产品，用A、B两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种新型产品共50件，下表是试验每件新产品所需原料的相关数据：

(1)设生产甲种产品x件，根据题意列出不等式组，求出x的取值范围；

(2)若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为y元，写出成本总额y(元)与甲种产品件数x(件)之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额．

1．不等式3x－7＜3＋x的正整数解有(　　)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)．

3．现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排(　　)．
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
4．关于x的不等式－2x＋a≤2的解集如图所示，那么a的值是(　　)．
[来源:]
A．－4 B．－2 C．0 D．2[来源:数理化网]
5．如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a＋b的值为__________．
6．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集为__________．

7．已知方程组的解为x、y，且2＜k＜4，则x－y的取值范围是__________．
8．已知关于x，y的方程组的解x，y都是正数，求m的取值范围．
9．洞庭实验学校准备在“五一”期间组织部分教师到张家界旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为400元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余的八折优惠．
(1)求人数为多少时，两家旅行社的收费相同？(教师在10人以上)
(2)请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少？旅游人数在什么范围时选择乙旅行社的费用较少？
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．B　2.A　3.B　4.D
5．解：(1)设轿车要购买x辆，那么面包车要购买(10－x)辆．
由题意得：7x＋4(10－x)≤55，
解得x≤5.
又∵x≥3，
则x＝3,4,5.
∴购车方案有3种：
方案一：轿车3辆，面包车7辆；
方案二：轿车4辆，面包车6辆；
方案三：轿车5辆，面包车5辆．
(2)方案一的日租金为：3×200＋7×110＝1 370(元)．
方案二的日租金为：4×200＋6×110＝1 460(元)．
方案三的日租金为：5×200＋5×110＝1 550(元)．
∴为保证日租金不低于1 500元，应选择方案三．
规律方法探究
变式训练　A
知能优化训练
中考回顾
1．A　2.A
3．6≤a＜9
4．解：(1)依题意列不等式组，
得
由不等式①，得x≤32，由不等式②，得x≥30.
∴x的取值范围为30≤x≤32.
(2)y＝70x＋90(50－x)，化简得y＝－20x＋4 500，
∵－20＜0，
∴y随x的增大而减小．
而30≤x≤32，
∴当x＝32,50－x＝18时，y最小值＝－20×32＋4 500＝3 860(元)．
模拟预测
1．D　2.A　3.C　4.C
5．1　6.x＞－2　7.0＜x－y＜1
8．解：解方程组
得
因为x，y都是正数，所以
解这个不等式组，得＜m＜7.
所以m的取值范围是＜m＜7.
9．解：(1)设旅游教师为x人时两家旅行社收费相同，
根据题意，得400×75%x＝400×80%(x－1)，解得x＝16.
(2)设旅游教师为x1人时甲旅行社收费较少，根据题意，得400×75%x1＜400×80%(x1－1)，
解得x1＞16.
设旅游教师为x2人时乙旅行社收费较少，根据题意，得400×75%x2＞400×80%(x2－1)，
解得x2＜16.
故当人数大于16时，选择甲旅行社收费较少，当人数小于16时，选择乙旅行社收费较少．