高考数学终极解题策略构造函数.doc

高考数学终极解题策略-构造函数

构建函数专题

关系式为“加”型
（1） 构造
（2） 构造
（3） 构造
（注意对的符号进行讨论）

关系式为“减”型
（1） 构造
（2） 构造
（3） 构造
（注意对的符号进行讨论）
小结：1.加减形式积商定         2.系数不同幂来补         3.符号讨论不能忘

典型例题：
例1.设是上的可导函数，，，求不等式的解集

变式：设分别是定义在上的奇函数、偶函数，当时，，，求不等式的解集.

例2.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列的前项和等于，则等于 .

变式：已知定义在上的函数满足，且，若若，求关于的不等式的解集.

例3.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则关于的大小关系是

例4.已知函数为定义在上的可导奇函数，且对于任意恒成立，且f（3）=e，则/e^x<1的解集为

变式：设是上的可导函数，且，，.求的值.

例5.设函数在上的导函数为，且，

变式：已知的导函数为，当时，，且，若存在，使，求的值.

巩固练习:
1.定义在上的函数，其导函数满足，且，则关于的不等式的解集为 ▲ ．

2.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为 ▲

3.设和分别是和的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性相反.若函数与在开区间上单调性相反（），则的最大值为 ▲

4.设函数在R上存在导数，对任意的有，且在 上，，若则实数的取值范围为 ▲ ；

一些常见的导数小题

1．已知函数（、、为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
2．已知、都是定义在R上的函数，，，，，则关于的方程有两个不同实根的概率为（ ）
A. B. C. D.

3．设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D. 1

4．定义在R上的函数，满足，'，若
，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

5．已知函数，且，则当时， 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

6．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1Î(0, 1)，x2Î(1, +¥)，记分别以m，n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为( )
A． B． C． D．

7．已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.

8．已知，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．

9．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

10．已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.

11．若函数有极大值又有极小值,则的取值范围是______．

12．已知函数，实数满足，若， ，使得成立，则的最大值为__________．

答案

1．D
【解析】
试题分析：因为函数的导数为.又由于当时取极大值，当时取极小值.所以即可得，因为的范围表示以圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A最大，过点B最小，通过计算可得的取值范围为.故选D.
考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想.
2．B
【解析】
试题分析：令，则，所以是减函数，
.又，所以.由得.又，由几何概型概率公式得：.选B.
考点：1、导数的应用；2、指数函数及方程；3、几何概型.
3．C
【解析】
试题分析：曲线，，∴曲线y=xn+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为，该切线与x轴的交点的横坐标为，因此。

考点：的导数，曲线C的切线方程，直线与x的交点.
4．D
【解析】
试题分析：函数，满足说明函数的图象关于直线对称，由于'，则当时，，函数在为增函数，当时，，函数在为减函数，因，若，则或'，，则或，选D；
考点：1．利用导数判断函数的单调性；2．借助函数图象，数形结合，解不等式
5．A
【解析】
试题分析： ，所以单调递增，且为奇函数.
由得即：
.作出表示的区域如图所示：

.设，由得.结合图形可知，即.选A.
考点：1、导数及函数的性质；2、平面区域；3、不等关系.
6．B
【解析】
试题分析：因为，，所以，y'=x2+mx+（m+n），
依题意知，方程y'=0有两个根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，∞），
构造函数f（x）=x2+mx+（m+n），
所以，，即，
∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＞loga（-1+4）
∴loga3＜1，解得a＜3
又∵a＞1，∴1＜a＜3，故选B．
考点：利用导数研究函数的极值，二元一次不等式（组）与平面区域。
点评：中档题，本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布，体现应用数学知识的灵活性。
7．A
【解析】
试题分析：当时，；当时，， ，故函数在是单调递增，所以，综上所述：；又时，则要使存在，使得成立，则值域交集非空，则且，所以.
考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的值域；3、集合的运算.
8．B．
【解析】设，，则，的轨迹为直线，的轨迹为双曲线，双曲线上一点到直线的距离为，的最小值为
【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力．
9．D
【解析】
试题分析：根据可知函数的导数大于或等于，所以，分离参数得，而当时，最大值为，故.
考点：函数导数与不等式，恒成立问题．
10．D
【解析】
试题分析：，所以，，，设，，由于，恒成立，所以单调递减，所以，，故有，即，因此,故选D.
考点：导数的运算及利用导数研究函数的单调性．
【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答本题首先对求导，求出，进而得到函数的解析式，对于的应用，应考虑构造函数，求导即可得到其单调性，从而有，整理即可得到结论，考查考生的发散思维能力和创新能力.
11．
【解析】
试题分析：，因为有极大值又有极小值，所以有两个不相等的实根，所以.
考点：利用导数研究函数的极值.

12．4

填4.
【点睛】
对于，转化为的值域的值域。

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