资源描述
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高考数学终极解题策略-构造函数
构建函数专题
关系式为“加”型
(1) 构造
(2) 构造
(3) 构造
(注意对的符号进行讨论)
关系式为“减”型
(1) 构造
(2) 构造
(3) 构造
(注意对的符号进行讨论)
小结:1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘
典型例题:
例1.设是上的可导函数,,,求不等式的解集
变式:设分别是定义在上的奇函数、偶函数,当时,,,求不等式的解集.
例2.已知定义在上的函数满足,且,,若有穷数列的前项和等于,则等于 .
变式:已知定义在上的函数满足,且,若若,求关于的不等式的解集.
例3.已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,则关于的大小关系是
例4.已知函数为定义在上的可导奇函数,且对于任意恒成立,且f(3)=e,则/e^x<1的解集为
变式:设是上的可导函数,且,,.求的值.
例5.设函数在上的导函数为,且,
变式:已知的导函数为,当时,,且,若存在,使,求的值.
巩固练习:
1.定义在上的函数,其导函数满足,且,则关于的不等式的解集为 ▲ .
2.已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为 ▲
3.设和分别是和的导函数,若在区间上恒成立,则称和在区间上单调性相反.若函数与在开区间上单调性相反(),则的最大值为 ▲
4.设函数在R上存在导数,对任意的有,且在 上,,若则实数的取值范围为 ▲ ;
一些常见的导数小题
1.已知函数(、、为常数),当时取极大值,当时取极小值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知、都是定义在R上的函数,,,,,则关于的方程有两个不同实根的概率为( )
A. B. C. D.
3.设曲线在点(1,1)处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D. 1
4.定义在R上的函数,满足,',若
,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数,且,则当时, 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
6.已知函数的两个极值点分别为x1,x2,且x1Î(0, 1),x2Î(1, +¥),记分别以m,n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数,函数若存在,使得成立,则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8.已知,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
9.已知,若对任意两个不等的正实数,都有恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数和分别满足,,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.若函数有极大值又有极小值,则的取值范围是______.
12.已知函数,实数满足,若, ,使得成立,则的最大值为__________.
答案
1.D
【解析】
试题分析:因为函数的导数为.又由于当时取极大值,当时取极小值.所以即可得,因为的范围表示以圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A最大,过点B最小,通过计算可得的取值范围为.故选D.
考点:1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想.
2.B
【解析】
试题分析:令,则,所以是减函数,
.又,所以.由得.又,由几何概型概率公式得:.选B.
考点:1、导数的应用;2、指数函数及方程;3、几何概型.
3.C
【解析】
试题分析:曲线,,∴曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线方程为,该切线与x轴的交点的横坐标为,因此。
考点:的导数,曲线C的切线方程,直线与x的交点.
4.D
【解析】
试题分析:函数,满足说明函数的图象关于直线对称,由于',则当时,,函数在为增函数,当时,,函数在为减函数,因,若,则或',,则或,选D;
考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.借助函数图象,数形结合,解不等式
5.A
【解析】
试题分析: ,所以单调递增,且为奇函数.
由得即:
.作出表示的区域如图所示:
.设,由得.结合图形可知,即.选A.
考点:1、导数及函数的性质;2、平面区域;3、不等关系.
6.B
【解析】
试题分析:因为,,所以,y'=x2+mx+(m+n),
依题意知,方程y'=0有两个根x1、x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),
构造函数f(x)=x2+mx+(m+n),
所以,,即,
∵直线m+n=0,2+3m+n=0的交点坐标为(-1,1)
∴要使函数y=loga(x+4)(a>1)的图象上存在区域D上的点,则必须满足1>loga(-1+4)
∴loga3<1,解得a<3
又∵a>1,∴1<a<3,故选B.
考点:利用导数研究函数的极值,二元一次不等式(组)与平面区域。
点评:中档题,本题综合性较强,应用导数研究函数的极值,通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布,体现应用数学知识的灵活性。
7.A
【解析】
试题分析:当时,;当时,, ,故函数在是单调递增,所以,综上所述:;又时,,则要使存在,使得成立,则值域交集非空,则且,所以.
考点:1、导数在单调性上的应用;2、函数的值域;3、集合的运算.
8.B.
【解析】设,,则,的轨迹为直线,的轨迹为双曲线,双曲线上一点到直线的距离为,的最小值为
【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识,考查学生转化与化归、逻辑推理能力.
9.D
【解析】
试题分析:根据可知函数的导数大于或等于,所以,分离参数得,而当时,最大值为,故.
考点:函数导数与不等式,恒成立问题.
10.D
【解析】
试题分析:,所以,,,设,,由于,恒成立,所以单调递减,所以,,故有,即,因此,故选D.
考点:导数的运算及利用导数研究函数的单调性.
【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性,属于中档题.解答本题首先对求导,求出,进而得到函数的解析式,对于的应用,应考虑构造函数,求导即可得到其单调性,从而有,整理即可得到结论,考查考生的发散思维能力和创新能力.
11.
【解析】
试题分析:,因为有极大值又有极小值,所以有两个不相等的实根,所以.
考点:利用导数研究函数的极值.
12.4
填4.
【点睛】
对于,转化为的值域的值域。
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