高等数学教案各章的教学目的、重点、难点.doc

第一章 函数与极限
教学目的：
1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、 掌握极限的性质及四则运算法则。
7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：
1、 复合函数及分段函数的概念；
2、 基本初等函数的性质及其图形；
3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；
4、 两个重要极限；
5、 无穷小及无穷小的比较；
6、 函数连续性及初等函数的连续性；
7、 区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、 分段函数的建立与性质；
2、 左极限与右极限概念及应用；
3、 极限存在的两个准则的应用；
4、 间断点及其分类；
闭区间上连续函数性质的应用。
第二章 导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
第三章 中值定理与导数的应用
教学目的：
1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；
2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；
3、函数图形的凹凸性；
4、洛必达法则。
教学难点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；
2、极值的判断方法；
3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；
4、洛必达法则的灵活运用。
第四章 不定积分
教学目的：
1 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：
1、 不定积分的概念；
2、 不定积分的性质及基本公式；
3、 换元积分法与分部积分法。
教学难点：
1、 换元积分法；
2、 分部积分法；
3、三角函数有理式的积分。
第五章 定积分
教学目的：
4、 理解定积分的概念。
5、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
6、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
7、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：
1、 定积分的性质及定积分中值定理
2、 定积分的换元积分法与分部积分法。
3、 牛顿—莱布尼茨公式。
教学难点：
1、 定积分的概念
2、 积分中值定理
3、 定积分的换元积分法分部积分法。
4、变上限函数的导数。
第六章 定积分的应用
教学目的
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
教学重点：
1、 计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。
教学难点：
1、 截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
第七章 空间解析几何与向量代数
教学目的：
1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：
1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；
2、两个向量垂直和平行的条件；
3、平面方程和直线方程；
4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；
5、点到直线以及点到平面的距离；
6、常用二次曲面的方程及其图形；
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：
1、向量积的向量运算及坐标运算；
2、平面方程和直线方程及其求法；
3、点到直线的距离；
4、二次曲面图形；
5、旋转曲面的方程；
第八章 多元函数微分法及其应用
教学目的：
1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、 了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
教学重点
1、 二元函数的极限与连续性；
2、 函数的偏导数和全微分；
3、 方向导数与梯度的概念及其计算；
4、 多元复合函数偏导数；
5、 隐函数的偏导数
6、 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
7、 多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：
1、 二元函数的极限与连续性的概念；
2、 全微分形式的不变性；
3、 复合函数偏导数的求法；
4、 二元函数的二阶泰勒公式；
5、 隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
6、 拉格郎日乘数法；
7、 多元函数的最大值和最小值。
第九章 重积分
教学目的：
1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
教学重点：
1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3、二、三重积分的几何应用及物理应用。
教学难点：
1、 利用极坐标计算二重积分；
2、 利用球坐标计算三重积分；
3、 物理应用中的引力问题。
第十章 曲线积分与曲面积分
教学目的：
1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2. 掌握计算两类曲线积分的方法。
3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。
6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
教学重点:
1、 两类曲线积分的计算方法；
2、 格林公式及其应用；
3、 两类曲面积分的计算方法；
4、 高斯公式、斯托克斯公式；
5、 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

教学难点：
1、 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；
2、 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；
3、 应用格林公式计算对坐标的曲线积分；
4、 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；
5、 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。
第十一章 无穷级数
教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、，和的麦克劳林展开式；
6、傅里叶级数。
教学难点：
1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；
3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
第十二章 微分方程
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：，和
5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程，和
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；
教学难点：
1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程