人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题).doc

人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD?
A
D
B
C

解析：延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE
2
1

证明：连接BF和EF。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以 ∠EBF=∠BEF。
又因为 ∠ABC=∠AED。
所以 ∠ABE=∠AEB。
所以 AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以 三角形ABF和三角形AEF全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

B
A
C
D
F
2
1
E
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明：
过E点，作EG//AC，交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2
又∵CD=DE
∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）
∴EG=AC
∵EF//AB
∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE
∴EF=EG
∴EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
C
D
B

证明：
在AC上截取AE=AB，连接ED
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB，AD=AD
∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）
∴∠AED=∠B，DE=DB
∵AC=AB+BD
AC=AE+CE
∴CE=DE
∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C
∴∠B=2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
因为CE⊥AB
所以∠CEB＝∠CEF＝90°
因为EB＝EF，CE＝CE，
所以△CEB≌△CEF
所以∠B＝∠CFE
因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
所以∠D＝∠CFA
因为AC平分∠BAD
所以∠DAC＝∠FAC
又因为AC＝AC
所以△ADC≌△AFC（SAS）
所以AD＝AF
所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.
∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;
又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.

D
C

B
A
F
E
13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

证明：AB//ED,AE//BD推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
所以三角形AEF 全等于三角形DCB，
所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

A
B
C
D

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：
△AED是等腰三角形。
所以：AE=DE
而AB=CD
所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
所以：△BEC是等腰三角形
所以：角B=角C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE交AC于F

因为，∠1 =∠2，BE⊥AE

所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求F
A
E
D
C
B
DC

证明：作AG∥BD交DE延长线于G

AGE全等BDE
AG=BD=5
AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

证明：延长AD至H交BC于H;
BD=DC;

所以:
∠DBC=∠角DCB;
∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;

所以:
AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
所以:
AD垂直BC

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
证明：因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB
所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA
所以∠OAB=∠OBA

20．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，
又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

证明：在AB上找点E，使AE=AC
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C
∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

解答：解：（1）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．

23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

证明：(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。

（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

24．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．
证明：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE

25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

26、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.

27、如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。
证明：三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

28、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

证明：在△ABD与△ACD中AB=AC
BD=DC
AD=AD

∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC

29、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

证明：因为AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

所以三角形ABE=三角形CDF

因为 角DCB=角ABF

AB=DC BF=CE

三角形ABF=三角形CDE

所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：
∵AB平行CD（已知）
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M在BC的中点（已知）
∴EM=FM（中点定义）
在△BME和△CMF中
BE=CF（已知）
∠B=∠C（已证）
EM=FM（已证）
∴△BME全等与△CMF（SAS）
∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）

∴E，M，F在同一直线上

31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
证明：
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）

D
B
Cc
A
F
E
32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

证明：连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF
得AE=AF

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
证明：因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.
又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC
三角形DEC全等于三角形BEC
所以∠5=∠6

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
证明：因为D,C在AF上且AD=CF
所以AC=DF
又因为AB平行DE，BC平行EF
所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）
然后SSA（角角边）三角形全等

A
C
B
D
E
F
35．已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
证明：因为 AB=AC，
所以 ∠EBC=∠DCB
因为 BD⊥AC，CE⊥AB
所以 ∠BEC=∠CDB
BC=CB (公共边)
则有 三角形EBC全等于三角形DCB
所以 BE＝CD

36、 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
A
E
B
D
C
F
求证：DE=DF．
解析：（AAS）证△ＡＤＥ≌△ADF

D
C
B
A
E
37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
证明：角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC

BC=AE

△ABC≌△DAE

AD=AB=5

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
证明：∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C

又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形

∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC

39.如图，给出五个等量关系：① ② ③ ④ ⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
A
B
C
Ｄ
Ｅ
已知：

求证：

证明：

已知1,2
求证4

因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB

所以△ADB全等于△BCA

所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。
即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求

证明：AD=BC
因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360
∠D=∠C，∠A=∠B，
所以 2(∠A+∠D)=360°，
∠A+∠D=180°，
所以 AB//DC

40．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1） 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F

（1） 证明;因为AE垂直AB
所以角EAB=角EAC+角CAB=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=角CAB+角BAF=90度
所以角EAC=角BAF
因为AE=AB AF=AC
所以三角形EAC和三角形FAB全等
所以ECBF
角ECA=角F

(2)延长FB与EC的延长线交于点G
因为角ECA=角F(已证）
所以角G=角CAF
因为角CAF=90度
所以EC垂直BF

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN

（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
连接BF、CE，
证明：△ABF全等于△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
证明：在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD

45、 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
证明：
∵AD是中线
∴BD=CD
∵DF=DE，∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF
∴∠BED=∠CFD
∴BE‖CF

A
D
E
C
B

F
46、已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
求证：．
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴∠C=∠A，
∴AB∥CD．

47、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

A
C
E
D
B
48、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。

证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE

49、 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
A
B
E
C
D
解析：先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE

A
B
C
D
E
F
图9
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

证明：作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG= ∠DCG=45°
∵∠ACB=90° AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵ AC=CB ∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠B CD=BD
∴△CDG ≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE