高中数学复数讲义.教师版.doc

复数

知识内容

一、复数的概念
1． 虚数单位i:
（1）它的平方等于，即；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
（3）i与－1的关系:
i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．
（4）i的周期性：
， ， ， ．
2． 数系的扩充：复数
3． 复数的定义：
形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示
4． 复数的代数形式:
通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．
5． 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数

6． 复数集与其它数集之间的关系：
7． 两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，， ，，那么，

二、复数的几何意义
1． 复平面、实轴、虚轴：
复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．
2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
3．
复数复平面内的点
这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．

三、复数的四则运算
1． 复数与的和的定义：

2． 复数与的差的定义：

3． 复数的加法运算满足交换律:
4． 复数的加法运算满足结合律:
5． 乘法运算规则：
设，(、、、)是任意两个复数，
那么它们的积
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
6． 乘法运算律：
（1）
（2）
（3）
7． 复数除法定义：
满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者
8． 除法运算规则：
设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，
即∵
∴
由复数相等定义可知解这个方程组，得
于是有:
②利用于是将的分母有理化得：
原式
．
∴(
点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法．
9． 共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

例题精讲

1． 复数的概念
【例1】 已知为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（ ）
A．2，5 B．-3，1 C．-1．1 D．2，
【答案】D

【例2】 计算： （表示虚数单位）
【答案】
【解析】 ∵，而（），故

【例3】 设，，则下列命题中一定正确的是（　　）
A．的对应点在第一象限 B．的对应点在第四象限
C．不是纯虚数 D．是虚数
【答案】D
【解析】 ．

【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（　　）
①两个复数不能比较大小；
②若是纯虚数，则实数；
③是虚数的一个充要条件是；
④若是两个相等的实数，则是纯虚数；
⑤的一个充要条件是．
⑥的充要条件是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；时， ，②错；为实数时，也有，③错；时， ，④错；⑤⑥正确．

2． 复数的几何意义
【例5】 复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】 由已知在复平面对应点如果在第一象限，则，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．

【例6】 若，复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当时，．

【例7】 如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】 设复数在复平面的对应点为，因为，
所以点的集合是轴上以、为端点的线段．
表示线段上的点到点的距离．此距离的最小值为点到点的距离，其距离为．

【例8】 满足及的复数的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 复数表示的点在单位圆与直线上（表示到点与点的距离相等，故轨迹为直线），故选D．

【例9】 已知复数的模为，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】 ，
，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为．

【例10】 复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【解析】 A；设，则有，，
化简得：，故为圆．
【点评】①的几何意义为点到点的距离；
②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．

【例11】 复数，满足，，证明：．
【解析】 设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．
也可设，则由向量与向量垂直知，
，故．

【例12】 已知复数，满足，，且，求与的值．
【答案】；4．
【解析】 设复数，在复平面上对应的点为，，由于，
故，
故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．

【例13】 已知，，，求．
【解析】 设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，记所对应的顶点为，
由知， （可由余弦定理得到），故，
从而．

【例14】 已知复数满足，求的最大值与最小值．
【答案】，
【解析】 设，则满足方程．
，
又，故当时，；当时，有．

3． 复数的四则运算
【例15】 已知，若，则等于（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】 ．

【例16】 计算：．
【答案】
【解析】 原式．

【例17】 已知复数，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】
，
故当时， 有最大值．

【例18】 对任意一个非零复数，定义集合．
（１）设是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率；
（2）若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】 （1）∵是方程的根，
∴或，不论或，，
于是．
（2）取，则及．
于是或取．（说明：只需写出一个正确答案）．

【例19】 解关于的方程．
【答案】．
【解析】 错解：由复数相等的定义得．
分析：“，且成立”的前提条件是，但本题并未告诉是否为实数．
法一：原方程变形为，．
由一元二次方程求根公式得，．
原方程的解为，．
法二：设，则有，
，
由②得：，代入①中解得：或，
故方程的根为．

【例20】 已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】 ，，
对恒成立．
当，即时，不等式恒成立；
当时，．
综上，．

【例21】 关于的方程有实根，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】 误：方程有实根，．
解得或．
析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况，而该方程中与并非实数．
正：设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得．

【例22】 设方程的根分别为，，且，求实数的值．
【答案】或．
【解析】 若，为实数，则且，
解得．
若，为虚数，则且，共轭，
，解得．
综上，或．

【例23】 用数学归纳法证明：．
并证明，从而．
【解析】 时，结论显然成立；
若对时，有结论成立，即，
则对，
由归纳假设知，上式

，
从而知对，命题成立．
综上知，对任意，有．
易直接推导知：

故有．

．

【例24】 若是方程（）的解，
求证：．
【解析】 将解代入原方程得：
，
将此式两边同除以，则有：
，
即，
，
由复数相等的定义得．

【例25】 设、为实数，且，则=________．
【答案】4
【解析】 由知，，
即，
故，解得，故．

【例26】 已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹．
【答案】以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．
【解析】 法一：
设（），
则是纯虚数，
故，
即的对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．
法二：
∵是纯虚数，∴（且）
∴，∴，得到，
设（），则（）
∴的对应点的轨迹以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．

【例27】 设复数满足，求的最值．
【解析】 由题意，，则．
设，
则．
当时，，此时；
当时，，此时．

【例28】 若，，试求．
【答案】
【解析】 ∵，
∴
又知，∴
设（），则，∴ ，即，
由复数相等定义得，解得．∴．
故．
【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：
①设（）的共轭复数为，则；；
②为实数；
③为纯虚数；
④对任意复数有；；，特别地有；；．
⑤，．，，．
以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．

【例29】 已知虚数为的一个立方根， 即满足，且对应的点在第二象限，证明，并求与的值．
【答案】0；
【解析】 法一：
，解得：或．
由题意知，证明与计算略；
法二：
由题意知，故有．
又实系数方程虚根成对出现，故的两根为．
由韦达定理有．
．
．
【点评】利用的性质：，可以快速计算一 些相关的复数的幂的问题．

【例30】 若（），
求证：
【解析】

设，
则有，即，
，解得，即．

【例31】 设是虚数，是实数，且．
（1）求的值及的实部的取值范围
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值．
【答案】（1）；的实部的取值范围是；（3）1．
【解析】 （1）设，，
则，
因为是实数，，所以，即．
于是，，，
所以的实部的取值范围是．
（2）．
因为，，所以为纯虚数．
（3）．
因为，所以，
故．
当，即时，取得最小值．

【例32】 对任意一个非零复数，定义集合．
（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合；
（2）设复数，求证：．
【答案】（1）；（2）略
【解析】 （1）∵是方程的根，
∴或，
当时，∵，．
∴，
当时，∵，
∴．
∴；
（2）∵，∴存在，使得．
于是对任意．
由于是正奇数，，∴．

【例33】 已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，．
（1）试求的值，并分别写出和用表示的关系式；
（2）将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点．当点在直线上移动时， 试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）；（2）；
（3）这样的直线存在，其方程为或
【解析】 （1）由题设，，∴，
于是由，且，得，
因此由，得关系式．
（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足，
消去，得，故点的轨迹方程为．
（3）假设存在这样的直线，
∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为．
∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，
∴，即，
当时，方程组无解，故这样的直线不存在．
当，由，得，解得或．
故这样的直线存在，其方程为或．

课后检测

【习题1】 已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，而，∴

【习题2】 设为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 ，．

【习题3】 复数等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】原式，选B．

【习题4】 已知复数满足，且，求证：．
【解析】 设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．

【习题5】 设复数，满足，其中，求的值．
【答案】5
【解析】
，
把代入上式，得．
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