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高中数学 第一章 推理与证明 14 数学归纳法课件1 北师大版选修2 2 课件.ppt

1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,数学归纳法,归纳推理,是由部分到整体,个别到一般的推理,温故知新,但是利用归纳推理得出的结论不一定正确,a,2,=,a,1,+1,d,a,3,=,a,2,+,d,=,a,1,+2,d,a,4,=,a,3,+,d,=,a,1,+3,d,回顾以,a,1,为首项,,d,为公差的等差数列,a,n,的通项公式是怎样得出的?,a,1,=,a,1,+0,d,a,n,=,a,1,+(,n,-1),d,(,n,N*),温故知新,探究新知,请思考:,满足哪些条件才能使骨牌全部倒下?,必须同时满足两个条件:,1.,第一张

2、骨牌倒下;,2.,假设第,k,张骨牌倒下,保证第,k+1,张骨牌一定倒下,数学归纳法的原理及证明步骤,验证当,n,=,n,0,(,n,0,为,n,允许取值的第一个值)时,命题成立,;,在假设当,n,=,k,(,k,N,*,k,n,0,),时命题成立的前提下,证明当,n,=,k,+1,时命题也成立;,根据,命题对于从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立。,实际上证明了一种,无限,递推,关系,探究新知,证,明,:,(2),第步中,“,当,n=k+1,时,”,的证明可否改换为:,想一想,(1),假设当,n=k(kN,*,),时,等式,成立,并且证明了当,n=k+1,时等式也成立,能否由此得出对一切

3、nN,*,等式都成立?,为什么?,第二步的证明没有用上,n,=,k,的假设,!,用数学归纳法需,注意,:,1.,三个步骤缺一不可,:,第一步是,奠基步骤,,是命题论证的基础,称之为,归纳基础,;,第二步是,归纳步骤,,是推理的依据,它反映了,无限,递推,关系,其中,“,假设,n,=,k,时成立,”,称为,归纳假设,(,注意是,”,假设,”,,而不是确认命题成立,);,第三步是,总体结论,,也不可少。,2.,第二步的证明中,必须用到归纳假设,,否则就不是数学归纳法了。,3.,注意第一步中,n,=,n,0,时的形式。,4.,数学归纳法适用于,和正整数,n,有关,的命题。,解:由已知,得,猜想:,

4、以下用数学归纳法证明猜想:,例,2.,已知数列 满足 ,,试猜想 的通项公式并用数学归纳法证明,(2).,假设,n,=,k,时,等式成立,即,那么,当,n,=,k,+1,时,n,=,k,+1,时,原等式成立,由(,1,),(,2,)知当,n,N,*,时,等式都成立,第二步的证明要用上归纳假设,!,证明:,(1).,当,n,=1,时,左边,=,,右边,=,等式成立,猜想:,C,课堂练习,2,用数学归纳法证明,过程中,由 递推到 时,不等式左边增加的项为,(),A.B.C.D.,课堂练习,C,课堂练习,3.,用数学归纳法证明,首项为,a,1,,公差为,d,的等差数列,a,n,的通项公式为:,a,n

5、a,1,+(,n,-1),d,(,n,N*,),.,证明,:,当,n,=1,时,左边,=,a,1,,右边,=,a,1,+(1-1),d,=,a,1,,等式成立;,假设当,n,=,k,(,k,N ,k,1),时等式成立,即,a,k,=,a,1,+(,k,-1),d,,,则当,n,=,k,+1,时:,a,k+1,=,=,a,1,+(,k,-1),d,+,d,=,a,1,+(,k,+1)-1,d,所以当,n,=,k,+1,时等式也成立;,由和可知,等式对任何,n,N,都成立,.,a,k,+,d,第二步的证明要用上归纳假设,!,本节课你的收获,1.,与正整数,n,有关的命题可以用数学归纳法证明,.,2.,数学归纳法的基本原理,.,3.,数学归纳法的步骤,重点,:,两个重要步骤、一个结论,注意,:,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉,.,4.,生活中处处都有数学,.,

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