1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,第五节 函数极值与最值,1/22,一,、,函数极值,1.,定义,假如存在,一个去心邻域,对于该去心邻域,内任一点,都有,成立,则称,是函数,极大值,称,为函数,极大值点.,(极小值),(极小值点),2/22,极小值点:,极大值点:,3/22,2.,极值点必要条件,定理1,若,在,处取得极值,且,在,处可导,则,证,不妨设,是极大值.,按定义,存在去心邻域,使得,对于任意,都有,
2、即：,对于任意,都有,又,由费马引理得:,4/22,定义,若,则称,是函数,驻点.,注:,由定理1得:,若,是函数,极值点,则,或,不存在.,反之不然.,反例:,但,不是,极值点.,但,不是,极值点.,5/22,3.,极值判别法,定理2(第一判别法),设,在,一个去心邻域,内可导,且在,处连续.,(1),若当,由小到大经过,时,符号由正变负,则,是极大值.,(2),若当,由小到大经过,时,符号由负变正,则,是极小值.,(3),若当,由小到大经过,时,符号不改变,则,不是极值.,6/22,(,),+,-,是极大值,(,),-,+,是极小值,7/22,(,),+,+,不是极值,(,),-,-,不是
3、极值,8/22,例1,求,极值.,解,(1)定义域:,(2),令,解得,时,不存在,9/22,(3)讨论单调性,-,不,存,在,+,0,-,不,存,在,-,极小值,极大值,非极,值,(4),极小值:,极大值:,10/22,说明,假如由,表示式不易确定它在驻点,附近符号,那么,用极值第一判别法就不好求,极值了.,不过,这时若函数,在驻点处,二阶导数存在且不为零,则可用下面定理来求极值.,定理3(第二判别法),设,在,处二阶可导,且,则,(1)当,时,是极大值,(2)当,时,是极小值,11/22,证 (1),按定义,由函数极限局部保号性得:,就有,.,于是,从而,从而,(第一判别法),12/22,
4、2)类似可证.,例2,求函数,极值.,解,是周期函数，,只需考虑,在区间,上情况.,令,解得,极大值,极小值,13/22,二,、,函数最大值和最小值,在实际中，经常碰到这么问题：,怎样使产品用料最省？成本最低？生产时间最短？,怎样使生产效益最高？利润最大？,这类问题称为“,最优化问题,”,在数学上，,这类问题可归结为：,求某个函数最大值或最小值问题,（简称最值问题）,这里，我们只研究一些较简单最值问题。,14/22,1.,设函数,是闭区间,上连续函数,且在,内只有有限个导数为0或不存在点.,求,在闭区间,上最值.,求法:,(1),记为:,(2),(3),15/22,例3,求函数,在,上最大值
5、和最小值。,解,记,令,解得,计算,16/22,2.,设函数,在区间,内可导,且只有一个驻点,又,是,极值点，,则,当,是极大值时，,就是区间,上最大值。,当,是极小值时，,就是区间,上最小值。,（,）,（,）,17/22,3.在实际问题中,往往依据问题性质就能够断定,可导函数,确有最大值(或最小值),而且一定在,定义区间内部取到.,这时,假如,在定义区间,内部只有一个驻点,那么,能够断定,就是,最大值(或最小值).,(无须讨论,是否为极值),例4,设有一块边长为,正方形铁皮,从其各角,截去一样小正方形,作成一个无盖方盒,问:,截去多少才能使得作成盒子容积最大?,18/22,解,设截去小正方形边长,为,则作成盒子容积,(,),令,解得,19/22,在,内可导,且只有一个驻点,又由实际问题知:,在,内必有最大值,就是最大值点,最大值,20/22,小 结：,极值定义,极值判定法：,第二判定法,第一判定法,最大值，最小值求法,极值点必要条件,21/22,P162习题3-5,1(1)(3)(5)(8)，3，4(3)，6，8,作 业,f i n,22/22,
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