五节函数极值与最值市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,第五节 函数极值与最值,1/22,一,、,函数极值,1.,定义,假如存在,一个去心邻域,对于该去心邻域,内任一点,都有,成立,则称,是函数,极大值,称,为函数,极大值点.,(极小值),(极小值点),2/22,极小值点:,极大值点:,3/22,2.,极值点必要条件,定理1,若,在,处取得极值,且,在,处可导,则,证,不妨设,是极大值.,按定义,存在去心邻域,使得,对于任意,都有,即：,对于任意,都有,又,由费马引理得:,4/22,定义,若,则称,是函数,驻点.,注:,由定理1得:,若,是函数,极值点,则,或,不存在.,反之不然.,反例:,但,不是,极值点.,但,不是,极值点.,5/22,3.,极值判别法,定理2(第一判别法),设,在,一个去心邻域,内可导,且在,处连续.,(1),若当,由小到大经过,时,符号由正变负,则,是极大值.,(2),若当,由小到大经过,时,符号由负变正,则,是极小值.,(3),若当,由小到大经过,时,符号不改变,则,不是极值.,6/22,(,),+,-,是极大值,(,),-,+,是极小值,7/22,(,),+,+,不是极值,(,),-,-,不是极值,8/22,例1,求,极值.,解,(1)定义域:,(2),令,解得,时,不存在,9/22,(3)讨论单调性,-,不,存,在,+,0,-,不,存,在,-,极小值,极大值,非极,值,(4),极小值:,极大值:,10/22,说明,假如由,表示式不易确定它在驻点,附近符号,那么,用极值第一判别法就不好求,极值了.,不过,这时若函数,在驻点处,二阶导数存在且不为零,则可用下面定理来求极值.,定理3(第二判别法),设,在,处二阶可导,且,则,(1)当,时,是极大值,(2)当,时,是极小值,11/22,证 (1),按定义,由函数极限局部保号性得:,就有,.,于是,从而,从而,(第一判别法),12/22,(2)类似可证.,例2,求函数,极值.,解,是周期函数，,只需考虑,在区间,上情况.,令,解得,极大值,极小值,13/22,二,、,函数最大值和最小值,在实际中，经常碰到这么问题：,怎样使产品用料最省？成本最低？生产时间最短？,怎样使生产效益最高？利润最大？,这类问题称为“,最优化问题,”,在数学上，,这类问题可归结为：,求某个函数最大值或最小值问题,（简称最值问题）,这里，我们只研究一些较简单最值问题。,14/22,1.,设函数,是闭区间,上连续函数,且在,内只有有限个导数为0或不存在点.,求,在闭区间,上最值.,求法:,(1),记为:,(2),(3),15/22,例3,求函数,在,上最大值和最小值。,解,记,令,解得,计算,16/22,2.,设函数,在区间,内可导,且只有一个驻点,又,是,极值点，,则,当,是极大值时，,就是区间,上最大值。,当,是极小值时，,就是区间,上最小值。,（,）,（,）,17/22,3.在实际问题中,往往依据问题性质就能够断定,可导函数,确有最大值(或最小值),而且一定在,定义区间内部取到.,这时,假如,在定义区间,内部只有一个驻点,那么,能够断定,就是,最大值(或最小值).,(无须讨论,是否为极值),例4,设有一块边长为,正方形铁皮,从其各角,截去一样小正方形,作成一个无盖方盒,问:,截去多少才能使得作成盒子容积最大?,18/22,解,设截去小正方形边长,为,则作成盒子容积,(,),令,解得,19/22,在,内可导,且只有一个驻点,又由实际问题知:,在,内必有最大值,就是最大值点,最大值,20/22,小 结：,极值定义,极值判定法：,第二判定法,第一判定法,最大值，最小值求法,极值点必要条件,21/22,P162习题3-5,1(1)(3)(5)(8)，3，4(3)，6，8,作 业,f i n,22/22,