2023年二次函数最值知识点总结典型例题及习题.docx

二次函数在闭区间上最值
一、知识要点：
一元二次函数 区间最值问题，关键是函数对称轴与给定区间 相对位置关系 讨论。
一般分为：对称轴在区间 左边，中间，右边三种状况.
设 f (x) ax2 bx c (a
0),求f (x)在x ［m，n］上 最大值与最小值。
分析：将f (x)配方，得顶点为
2a，*、对称轴为x
1
2a

最值：
当a 。时，它 图象是开向上 抛物线，数形结合可得在［m，n］上f(x)
(1) 当* m，n时，f (x) 最小值是f 二 兰上，f(x)最大值是
2a2a 4a
f (m)、f (n)中较大者。
，、，b ，
(2) 当—m，n 时
2a
若 M m，由f(x)在m，n上是增函数则f (x)最小值是f (m)，最大值是2a
f (n)
若n £，由f (x)在m，n上是减函数则f (x)最大值是f (m)，最小值是f (n)
当a 。时，可类比得结论。
、例题分析归类:(一)、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间 互相位置关系 讨
论往往成为处理此类问题 关键。此类问题包括如下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定，给出定义域区间也是固定，我们称这种状况是定二次函数在定区间上最值”。
例1.函数y X2 4x 2在区间［0, 3］上 最大值是，最小值是。
练习.已知2x2 3x，求函数f (x) x2 x 1最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定，但它定义域区间是随参数而变化，我们称这种状况是定函数在动区间上最值”。
例2.假如函数f (x) (x 1)2 1定义在区间t，t 1上，求f (x)最值。
例3.已知f (x)
x2 4x 3,当x [t t 1]t R)时，求 f(x)最值.
对二次函数区间最值结合函数图象总结如下:
f ( 一)，m 一 n 如图4)
2a 2a
f(jn), 一 m 如 图5)
2a
f(n), 一 n 如图3)
2a
f(x)
max
f(n),攵
2a
n如图6)
f ( -^), m
2a
f (n),攵
2a
b
2a
m如图8)
f m),
b
2a
1 /
一 m
2
n)如图9)
f n),
b
2a
i /
-m
2
n)如图10)

n 如图7) f(x)min

3、轴变区间定
二次函数伴随参数变化而变化，即其图象是运动，但定义域区间是固定，我们称这种状况是动二次函数在定区间上最值”。
例4.已知X2 1,且a 2 0,求函数f (x) x2 ax 3最值。
例5.⑴求f (x) X2 2ax 1在区间［-1,址 最大值。
⑵求函数y x(x a)在x ［ 1,1］ 上最大值。
4, 轴变区间变
二次函数是含参数函数，而定义域区间也是变化，我们称这种状况是动二次函数
在动区间上最值”。
例 6,已知 y2 4a(x a)a 0)，,求U (x 3)2 y2最小值。
(二)、逆向型
是指已知二次函数在某区间上最值，求函数或区间中参数取值。
例7.已知函数f (x) ax2 2ax 1在区间［3,2］上 最大值为4,求实数a值。
X2
例8.已知函数f (x)— X在区间［m,n］上 最小值是3m最大值是3n ,求m , n 值。
例9,已知二次函数f (x) ax2 (2a 1) x 1在区间 3, 2上 最大值为3,求实数a
2
值。
二次函数在闭区间上 最值专题演习
1.函数y
x2x 1在［1,1］上 最小值和最大值分别是

(
)
(A)1 ,3
(B)； ,3(C ) 2 ,3
(D )
1
4, 3

2.函数y
x24x 2在区间1,4］上最小值是

(
)
(A) 7
(B) 4C) 2
(D)2

3.函数y
8,,
——-一T最值为

(
)
x2 4x 5

(A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值，最大值为8
(C)最小值为0,不存在最大值(D )不存在最小值，也不存在最大值
4. 若函数y2 V X2 4x,x ［0,4］取值范围是
5. 已知函数f (x) ax2(2a 1)x 3(a尹0)在区间［3，2］上 最大值是1,则实数
a 值为
6. 已知函数y x2 2x 3在闭区间［0,m］上有最大值3,最小值2,则m 取值范围是
()
(A) 1,)(B) [0,2](C) 1,2](D) ( ,2]
7. 设 f(x) x2 4x 4,x [t,t 1] t R),求函数 f(x)最小值.
8. 已知函数f (x) 4x2 kx 8在[5,20]上具有单调性，求实数k取值范围。
9. 若函数f (x)(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对一切x R恒成立，则a取值范围()
A. ( ,2] B. [ 2,2] C. ( 2,2] d. ( , 2)
10..已知函数f (x) 4x2 4ax 2在(-,0]内单调递减，则3取()

A. a 3
B. a 3
C. a <-3
D. a

11.
已知函数
f(x)
x2 kx在 ［2,4］上是单调函数，求k 取值范围。
12.
已知函数
f(x)
x2 2x 3在［0,m］上有最大值是3，最小值是2，求m 取值范围。
13.
已知函数
f(x)
3v x2 4 最大值为M，最小值为m，则M+m=
14.
已知函数
f(x)
4x2 4ax a2-2a+2在［0,2］上 最小值为3，求a值。
15.求函数f (x)
x2 2|x|+3 单调区间。
16.
已知函数f (x)
2x2 6x在下列定义域上值域:
(1 )定义域为{x Z 0x3}
(2)定义域为［-2,1］.
17.
已知函数f (x)x2
ax
3 a,若x ［ 2,2］，有f (x) 2恒成立，求a取值范围。
18.
已知函数f (x) x2
x a,其中a 2，求该函数 最大值与最小值。
19已知二次函数f (x)
x2
6x a 函数值总为负数，求a 取值范围。
20已知二次函数f (x)
(m
6)x2 2(m
1)x m 1图像与x轴总有交点，求m 取
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
值范围。
已知二次函数f (x)
已知函数
已知函数
已知函数
已知函数
已知函数
已知函数
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
x2
(m 1)x m
mx 2(m 2 m )x 2
(a
x2
x2
(m
x2
2) x2 2(a 2)x
3顶点在y轴上，求m 值。
图像有关y轴对称，求m 值。
4 0对一切x恒成立
4ax, (1 x 3)是单调增函数，求实数a
ax 1有负值，求a 取值范围。
2)x2 3 2m 图像在x轴下方，求m
ax 1 0对于一切x(0,；］成立，求a
求m 取值范围。
取值范围。
值。
取值范围。

取值范围。
28.已知函数f(x) 2x2 mx 3,当x ( , 1］时是减函数，求m
29已知函数f(x)定义域是R,求a取值范围。
3。.已知函数f(x)幻4ax 2a 6 (x R)值域为,求,值
31..已知函数f(X) X2
4x印对于x (0,1恒成立，，求m 取值范围。
32..已知函数f (x) X2
bx
c在［0,)上是单调函数，则b 取值范围。
33.已知函数f (x) 2x2
(2
a)x
2a (a 2),求在［0, 2］上 最小值。
34.已知函数f (x) 2x2
(2
a)x
2a,在［0,2］上是单调函数，求a取值范围。
35.已知函数f (x) 2x2
(2
a)x
2a,在［t,t 2］上是偶函数，求a 取值范围。
36.当a=—2时,求.函数f (x)
2x2
(2 a)x 2a 在[t, t 2]上
最小值。

37-已知函数f(x) J2x2—(2 a)x 2a宅立蚌斗d为 上
Vdjx za正乂域为r,求a取值范围。
38. 已知函数f(x) X2 2ax 1,求x ［ 2,1］上最值。
39. 已知函数f (x)
X2 2x 1,求 X
血,m 1］上最值。

40.已知函数f (x)
X2 2ax 1 a, x [0, 1]上最值为2,求a值。

41.已知函数f (x)
X2 2x 2:

(1)若x R ,求f (x)最小值。
(2 )若x [1, 3],求f (x)最小值。
(3)若x [a, a 2] ,a R ,求 f (x)最小值。
42. 已知函数f(x)X2 2kx 3,求x [ 1, 2]上 最大值
43, 已知函数f(x) kx2 2kx 1,求x [3,2]上最值。
44.
已知函数 f(x) 3x2 3x i b2,求 x [ b,b] ,b( 0)上 最值。
45.已知函数f (x) x(x t) 1,求x ［1,1］上最值。
46.已知函数f (x)
ax2 (2a l)x 3,求 x
47.已知函数f (x)
X2 ax 3,求 x [0,1]上 最值。

48.已知函数f (x) x(x a),求x [ l,a]_h 最大值。
49. 已知函数f (x) X2
50. 若不等式9x2 6ax
51. 已知函数f(X) X2
52. 已知函数f (x) ax2

2ax 1,在 x [ 1, 2]上a2 2a 6 0 在-x2x 3 ,求 x [t, t 1]上
2ax 5 ,求 x [0, 3止
最大值为4,求a值。
1
内恒成立，求a取值范围
最值。
最值。

53.已知函数f (x)
2x2 ax 3,求 x [ 3,1]上 最值。

3x 8 ,求x ［ 2,］上最值。
3a)x2 2x a,求 x ［0,1］上 最值。
(2t l)x t2 1,当t取何值时，函数最小值为
2tx 1,求x ［ 1,1］上 最大值。
4x a ,在 x ［0, 6止

54. 已知函数f (x)ax2
55. 已知函数f (x)(4
56. 已知函数f (x)X2
57. 已知函数f (x)X2
58. 已知函数f (x)X2
59. 已知函数f (x)X2
60. 已知函数f (x)X2
61. 已知函数f (x)X2
62. 已知函数f (x)X2
63. 已知函数f (x)X2
2ax 4 ,在 x [0, 3止
2ax 4 ,在 x [1, 3]上
2ax 4 ,在 x [1, 3]上
10x 30 ,在 x [a,a
10x 30 ,求在 x [a,a最大值为13,求a值。
最小值为1,求a值。
最大值为13,求a值°值域。
3］上最小值为6,求a
3］上最小值。
a
64. 已知f (x) X2 ax亏，在区间［°』］上 最大值为g(a),求g (a)最小值。