2023年二次函数最值知识点总结典型例题及习题.docx

二次函数在闭区间上最值一、知识要点：一元二次函数 区间最值问题，关键是函数对称轴与给定区间 相对位置关系 讨论。一般分为：对称轴在区间 左边，中间，右边三种状况.设 f (x)ax2bx c (a0),求f (x)在x m，n上 最大值与最小值。分析：将f (x)配方，得顶点为2a，*、对称轴为x12a最值：当a 。时，它 图象是开向上 抛物线，数形结合可得在m，n上f(x)(1) 当* m，n时，f (x) 最小值是f 二 兰上，f(x)最大值是2a2a 4af (m)、f (n)中较大者。，、，b ，(2) 当m，n 时2a若 M m，由f(x)在m，n上是增函数则f (x)最小值是f (m)，最大值是2af (n)若n ，由f (x)在m，n上是减函数则f (x)最大值是f (m)，最小值是f (n)当a 。时，可类比得结论。、例题分析归类:(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间 互相位置关系 讨论往往成为处理此类问题 关键。此类问题包括如下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定，给出定义域区间也是固定，我们称这种状况是定二次函数在定区间上最值”。例1.函数y X2 4x 2在区间0, 3上 最大值是，最小值是。练习.已知2x2 3x，求函数f (x) x2 x 1最值。2、轴定区间变二次函数是确定，但它定义域区间是随参数而变化，我们称这种状况是定函数在动区间上最值”。例2.假如函数f (x) (x 1)2 1定义在区间t，t 1上，求f (x)最值。例3.已知f (x)x2 4x 3,当x t t 1t R)时，求 f(x)最值.对二次函数区间最值结合函数图象总结如下:f ( 一)，m 一 n 如图4)2a2af(jn), 一 m 如 图5)2af(n), 一 n 如图3)2af(x)maxf(n),攵2an如图6)f ( -), m2af (n),攵2ab2am如图8)f m),b2a1 /一 m2n)如图9)f n),b2ai /-m2n)如图10)n 如图7) f(x)min3、轴变区间定二次函数伴随参数变化而变化，即其图象是运动，但定义域区间是固定，我们称这种状况是动二次函数在定区间上最值”。例4.已知X2 1,且a 2 0,求函数f (x) x2 ax 3最值。例5.求f (x) X2 2ax 1在区间-1,址 最大值。求函数y x(x a)在x 1,1 上最大值。4, 轴变区间变二次函数是含参数函数，而定义域区间也是变化，我们称这种状况是动二次函数在动区间上最值”。例 6,已知 y2 4a(x a)a 0)，,求U (x 3)2 y2最小值。(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上最值，求函数或区间中参数取值。例7.已知函数f (x) ax2 2ax 1在区间3,2上 最大值为4,求实数a值。X2例8.已知函数f (x) X在区间m,n上 最小值是3m最大值是3n ,求m , n 值。例9,已知二次函数f (x) ax2 (2a 1) x 1在区间 3, 2上 最大值为3,求实数a2值。二次函数在闭区间上 最值专题演习1.函数yx2x 1在1,1上 最小值和最大值分别是()(A)1 ,3(B)； ,3(C ) 2 ,3(D )14, 32.函数yx24x 2在区间1,4上最小值是()(A) 7(B) 4C) 2(D)23.函数y8,-一T最值为()x2 4x 5(A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值，最大值为8(C)最小值为0,不存在最大值(D )不存在最小值，也不存在最大值4. 若函数y2 V X2 4x,x 0,4取值范围是5. 已知函数f (x) ax2(2a 1)x 3(a尹0)在区间3，2上 最大值是1,则实数a 值为6. 已知函数y x2 2x 3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m 取值范围是()(A) 1,)(B) 0,2(C) 1,2(D) ( ,27. 设 f(x) x2 4x 4,x t,t 1 t R),求函数 f(x)最小值.8. 已知函数f (x) 4x2 kx 8在5,20上具有单调性，求实数k取值范围。9. 若函数f (x)(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对一切x R恒成立，则a取值范围()A. ( ,2 B. 2,2 C. ( 2,2 d. ( , 2)10.已知函数f (x) 4x2 4ax 2在(-,0内单调递减，则3取()A. a 3B. a 3C. a -3D. a11.已知函数f(x)x2 kx在 2,4上是单调函数，求k 取值范围。12.已知函数f(x)x2 2x 3在0,m上有最大值是3，最小值是2，求m 取值范围。13.已知函数f(x)3v x2 4 最大值为M，最小值为m，则M+m=14.已知函数f(x)4x2 4ax a2-2a+2在0,2上 最小值为3，求a值。15.求函数f (x)x2 2|x|+3 单调区间。16.已知函数f (x)2x2 6x在下列定义域上值域:(1 )定义域为x Z 0x3(2)定义域为-2,1.17.已知函数f (x)x2ax3 a,若x 2,2，有f (x) 2恒成立，求a取值范围。18.已知函数f (x) x2x a,其中a 2，求该函数 最大值与最小值。19已知二次函数f (x)x26x a 函数值总为负数，求a 取值范围。20.已知二次函数f (x)(m6)x2 2(m1)x m 1图像与x轴总有交点，求m 取21.22.23.24.25.26.27.值范围。已知二次函数f (x)已知函数已知函数已知函数已知函数已知函数已知函数f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)fx)x2(m 1)x mmx 2(m 2 m )x 2(ax2x2(mx22) x2 2(a 2)x3顶点在y轴上，求m 值。图像有关y轴对称，求m 值。4 0对一切x恒成立4ax, (1 x 3)是单调增函数，求实数aax 1有负值，求a 取值范围。2)x2 3 2m 图像在x轴下方，求max 1 0对于一切x(0,；成立，求a求m 取值范围。取值范围。值。取值范围。取值范围。28.已知函数f(x) 2x2 mx 3,当x ( , 1时是减函数，求m29已知函数f(x)定义域是R,求a取值范围。3。.已知函数f(x)幻4ax 2a 6 (x R)值域为,求,值31.已知函数f(X) X24x印对于x (0,1恒成立，求m 取值范围。32.已知函数f (x) X2bxc在0,)上是单调函数，则b 取值范围。33.已知函数f (x) 2x2(2a)x2a (a 2),求在0, 2上 最小值。34.已知函数f (x) 2x2(2a)x2a,在0,2上是单调函数，求a取值范围。35.已知函数f (x) 2x2(2a)x2a,在t,t 2上是偶函数，求a 取值范围。36.当a=2时,求.函数f (x)2x2(2 a)x 2a 在t, t 2上最小值。37-已知函数f(x) J2x2(2 a)x 2a宅立蚌斗d为 上Vdjx za正乂域为r,求a取值范围。38. 已知函数f(x) X2 2ax 1,求x 2,1上最值。39. 已知函数f (x)X2 2x 1,求 X血,m 1上最值。40.已知函数f (x)X2 2ax 1 a, x 0, 1上最值为2,求a值。41.已知函数f (x)X2 2x 2:(1)若x R ,求f (x)最小值。(2 )若x 1, 3,求f (x)最小值。(3)若x a, a 2 ,a R ,求 f (x)最小值。42. 已知函数f(x)X2 2kx 3,求x 1, 2上 最大值43, 已知函数f(x) kx2 2kx 1,求x 3,2上最值。44.已知函数 f(x) 3x2 3x i b2,求 x b,b ,b( 0)上 最值。45.已知函数f (x) x(x t) 1,求x 1,1上最值。46.已知函数f (x)ax2 (2a l)x 3,求 x47.已知函数f (x)X2 ax 3,求 x 0,1上 最值。48.已知函数f (x) x(x a),求x l,a_h 最大值。49. 已知函数f (x) X250. 若不等式9x2 6ax51. 已知函数f(X) X252. 已知函数f (x) ax22ax 1,在 x 1, 2上a2 2a 6 0 在-x2x 3 ,求 x t, t 1上2ax 5 ,求 x 0, 3止最大值为4,求a值。1内恒成立，求a取值范围最值。最值。53.已知函数f (x)2x2 ax 3,求 x 3,1上 最值。3x 8 ,求x 2,上最值。3a)x2 2x a,求 x 0,1上 最值。(2t l)x t2 1,当t取何值时，函数最小值为2tx 1,求x 1,1上 最大值。4x a ,在 x 0, 6止54. 已知函数f (x)ax255. 已知函数f (x)(456. 已知函数f (x)X257. 已知函数f (x)X258. 已知函数f (x)X259. 已知函数f (x)X260. 已知函数f (x)X261. 已知函数f (x)X262. 已知函数f (x)X263. 已知函数f (x)X22ax 4 ,在 x 0, 3止2ax 4 ,在 x 1, 3上2ax 4 ,在 x 1, 3上10x 30 ,在 x a,a10x 30 ,求在 x a,a最大值为13,求a值。最小值为1,求a值。最大值为13,求a值值域。3上最小值为6,求a3上最小值。a64. 已知f (x) X2 ax亏，在区间上 最大值为g(a),求g (a)最小值。