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二次函数在闭区间上最值
一、知识要点:
一元二次函数 区间最值问题,关键是函数对称轴与给定区间 相对位置关系 讨论。
一般分为:对称轴在区间 左边,中间,右边三种状况.
设 f (x) ax2 bx c (a
0),求f (x)在x [m,n]上 最大值与最小值。
分析:将f (x)配方,得顶点为
2a,*、对称轴为x
1
2a
最值:
当a 。时,它 图象是开向上 抛物线,数形结合可得在[m,n]上f(x)
(1) 当* m,n时,f (x) 最小值是f 二 兰上,f(x)最大值是
2a2a 4a
f (m)、f (n)中较大者。
,、,b ,
(2) 当—m,n 时
2a
若 M m,由f(x)在m,n上是增函数则f (x)最小值是f (m),最大值是2a
f (n)
若n £,由f (x)在m,n上是减函数则f (x)最大值是f (m),最小值是f (n)
当a 。时,可类比得结论。
、例题分析归类:(一)、正向型
是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间 互相位置关系 讨
论往往成为处理此类问题 关键。此类问题包括如下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定,给出定义域区间也是固定,我们称这种状况是定二次函数在定区间上最值”。
例1.函数y X2 4x 2在区间[0, 3]上 最大值是,最小值是。
练习.已知2x2 3x,求函数f (x) x2 x 1最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定,但它定义域区间是随参数而变化,我们称这种状况是定函数在动区间上最值”。
例2.假如函数f (x) (x 1)2 1定义在区间t,t 1上,求f (x)最值。
例3.已知f (x)
x2 4x 3,当x [t t 1]t R)时,求 f(x)最值.
对二次函数区间最值结合函数图象总结如下:
f ( 一),m 一 n 如图4)
2a 2a
f(jn), 一 m 如 图5)
2a
f(n), 一 n 如图3)
2a
f(x)
max
f(n),攵
2a
n如图6)
f ( -^), m
2a
f (n),攵
2a
b
2a
m如图8)
f m),
b
2a
1 /
一 m
2
n)如图9)
f n),
b
2a
i /
-m
2
n)如图10)
n 如图7) f(x)min
3、轴变区间定
二次函数伴随参数变化而变化,即其图象是运动,但定义域区间是固定,我们称这种状况是动二次函数在定区间上最值”。
例4.已知X2 1,且a 2 0,求函数f (x) x2 ax 3最值。
例5.⑴求f (x) X2 2ax 1在区间[-1,址 最大值。
⑵求函数y x(x a)在x [ 1,1] 上最大值。
4, 轴变区间变
二次函数是含参数函数,而定义域区间也是变化,我们称这种状况是动二次函数
在动区间上最值”。
例 6,已知 y2 4a(x a)a 0),,求U (x 3)2 y2最小值。
(二)、逆向型
是指已知二次函数在某区间上最值,求函数或区间中参数取值。
例7.已知函数f (x) ax2 2ax 1在区间[3,2]上 最大值为4,求实数a值。
X2
例8.已知函数f (x)— X在区间[m,n]上 最小值是3m最大值是3n ,求m , n 值。
例9,已知二次函数f (x) ax2 (2a 1) x 1在区间 3, 2上 最大值为3,求实数a
2
值。
二次函数在闭区间上 最值专题演习
1.函数y
x2x 1在[1,1]上 最小值和最大值分别是
(
)
(A)1 ,3
(B); ,3(C ) 2 ,3
(D )
1
4, 3
2.函数y
x24x 2在区间1,4]上最小值是
(
)
(A) 7
(B) 4C) 2
(D)2
3.函数y
8,,
——-一T最值为
(
)
x2 4x 5
(A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值,最大值为8
(C)最小值为0,不存在最大值(D )不存在最小值,也不存在最大值
4. 若函数y2 V X2 4x,x [0,4]取值范围是
5. 已知函数f (x) ax2(2a 1)x 3(a尹0)在区间[3,2]上 最大值是1,则实数
a 值为
6. 已知函数y x2 2x 3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m 取值范围是
()
(A) 1,)(B) [0,2](C) 1,2](D) ( ,2]
7. 设 f(x) x2 4x 4,x [t,t 1] t R),求函数 f(x)最小值.
8. 已知函数f (x) 4x2 kx 8在[5,20]上具有单调性,求实数k取值范围。
9. 若函数f (x)(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对一切x R恒成立,则a取值范围()
A. ( ,2] B. [ 2,2] C. ( 2,2] d. ( , 2)
10..已知函数f (x) 4x2 4ax 2在(-,0]内单调递减,则3取()
A. a 3
B. a 3
C. a <-3
D. a
11.
已知函数
f(x)
x2 kx在 [2,4]上是单调函数,求k 取值范围。
12.
已知函数
f(x)
x2 2x 3在[0,m]上有最大值是3,最小值是2,求m 取值范围。
13.
已知函数
f(x)
3v x2 4 最大值为M,最小值为m,则M+m=
14.
已知函数
f(x)
4x2 4ax a2-2a+2在[0,2]上 最小值为3,求a值。
15.求函数f (x)
x2 2|x|+3 单调区间。
16.
已知函数f (x)
2x2 6x在下列定义域上值域:
(1 )定义域为{x Z 0x3}
(2)定义域为[-2,1].
17.
已知函数f (x)x2
ax
3 a,若x [ 2,2],有f (x) 2恒成立,求a取值范围。
18.
已知函数f (x) x2
x a,其中a 2,求该函数 最大值与最小值。
19已知二次函数f (x)
x2
6x a 函数值总为负数,求a 取值范围。
20.已知二次函数f (x)
(m
6)x2 2(m
1)x m 1图像与x轴总有交点,求m 取
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
值范围。
已知二次函数f (x)
已知函数
已知函数
已知函数
已知函数
已知函数
已知函数
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
x2
(m 1)x m
mx 2(m 2 m )x 2
(a
x2
x2
(m
x2
2) x2 2(a 2)x
3顶点在y轴上,求m 值。
图像有关y轴对称,求m 值。
4 0对一切x恒成立
4ax, (1 x 3)是单调增函数,求实数a
ax 1有负值,求a 取值范围。
2)x2 3 2m 图像在x轴下方,求m
ax 1 0对于一切x(0,;]成立,求a
求m 取值范围。
取值范围。
值。
取值范围。
取值范围。
28.已知函数f(x) 2x2 mx 3,当x ( , 1]时是减函数,求m
29已知函数f(x)定义域是R,求a取值范围。
3。.已知函数f(x)幻4ax 2a 6 (x R)值域为,求,值
31..已知函数f(X) X2
4x印对于x (0,1恒成立,,求m 取值范围。
32..已知函数f (x) X2
bx
c在[0,)上是单调函数,则b 取值范围。
33.已知函数f (x) 2x2
(2
a)x
2a (a 2),求在[0, 2]上 最小值。
34.已知函数f (x) 2x2
(2
a)x
2a,在[0,2]上是单调函数,求a取值范围。
35.已知函数f (x) 2x2
(2
a)x
2a,在[t,t 2]上是偶函数,求a 取值范围。
36.当a=—2时,求.函数f (x)
2x2
(2 a)x 2a 在[t, t 2]上
最小值。
37-已知函数f(x) J2x2—(2 a)x 2a宅立蚌斗d为 上
Vdjx za正乂域为r,求a取值范围。
38. 已知函数f(x) X2 2ax 1,求x [ 2,1]上最值。
39. 已知函数f (x)
X2 2x 1,求 X
血,m 1]上最值。
40.已知函数f (x)
X2 2ax 1 a, x [0, 1]上最值为2,求a值。
41.已知函数f (x)
X2 2x 2:
(1)若x R ,求f (x)最小值。
(2 )若x [1, 3],求f (x)最小值。
(3)若x [a, a 2] ,a R ,求 f (x)最小值。
42. 已知函数f(x)X2 2kx 3,求x [ 1, 2]上 最大值
43, 已知函数f(x) kx2 2kx 1,求x [3,2]上最值。
44.
已知函数 f(x) 3x2 3x i b2,求 x [ b,b] ,b( 0)上 最值。
45.已知函数f (x) x(x t) 1,求x [1,1]上最值。
46.已知函数f (x)
ax2 (2a l)x 3,求 x
47.已知函数f (x)
X2 ax 3,求 x [0,1]上 最值。
48.已知函数f (x) x(x a),求x [ l,a]_h 最大值。
49. 已知函数f (x) X2
50. 若不等式9x2 6ax
51. 已知函数f(X) X2
52. 已知函数f (x) ax2
2ax 1,在 x [ 1, 2]上a2 2a 6 0 在-x2x 3 ,求 x [t, t 1]上
2ax 5 ,求 x [0, 3止
最大值为4,求a值。
1
内恒成立,求a取值范围
最值。
最值。
53.已知函数f (x)
2x2 ax 3,求 x [ 3,1]上 最值。
3x 8 ,求x [ 2,]上最值。
3a)x2 2x a,求 x [0,1]上 最值。
(2t l)x t2 1,当t取何值时,函数最小值为
2tx 1,求x [ 1,1]上 最大值。
4x a ,在 x [0, 6止
54. 已知函数f (x)ax2
55. 已知函数f (x)(4
56. 已知函数f (x)X2
57. 已知函数f (x)X2
58. 已知函数f (x)X2
59. 已知函数f (x)X2
60. 已知函数f (x)X2
61. 已知函数f (x)X2
62. 已知函数f (x)X2
63. 已知函数f (x)X2
2ax 4 ,在 x [0, 3止
2ax 4 ,在 x [1, 3]上
2ax 4 ,在 x [1, 3]上
10x 30 ,在 x [a,a
10x 30 ,求在 x [a,a最大值为13,求a值。
最小值为1,求a值。
最大值为13,求a值°值域。
3]上最小值为6,求a
3]上最小值。
a
64. 已知f (x) X2 ax亏,在区间[°』]上 最大值为g(a),求g (a)最小值。
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