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2023年二次函数最值知识点总结典型例题及习题.docx

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二次函数在闭区间上最值 一、知识要点: 一元二次函数 区间最值问题,关键是函数对称轴与给定区间 相对位置关系 讨论。 一般分为:对称轴在区间 左边,中间,右边三种状况. 设 f (x) ax2 bx c (a 0),求f (x)在x [m,n]上 最大值与最小值。 分析:将f (x)配方,得顶点为 2a,*、对称轴为x 1 2a 最值: 当a 。时,它 图象是开向上 抛物线,数形结合可得在[m,n]上f(x) (1) 当* m,n时,f (x) 最小值是f 二 兰上,f(x)最大值是 2a2a 4a f (m)、f (n)中较大者。 ,、,b , (2) 当—m,n 时 2a 若 M m,由f(x)在m,n上是增函数则f (x)最小值是f (m),最大值是2a f (n) 若n £,由f (x)在m,n上是减函数则f (x)最大值是f (m),最小值是f (n) 当a 。时,可类比得结论。 、例题分析归类:(一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间 互相位置关系 讨 论往往成为处理此类问题 关键。此类问题包括如下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定,给出定义域区间也是固定,我们称这种状况是定二次函数在定区间上最值”。 例1.函数y X2 4x 2在区间[0, 3]上 最大值是,最小值是。 练习.已知2x2 3x,求函数f (x) x2 x 1最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定,但它定义域区间是随参数而变化,我们称这种状况是定函数在动区间上最值”。 例2.假如函数f (x) (x 1)2 1定义在区间t,t 1上,求f (x)最值。 例3.已知f (x) x2 4x 3,当x [t t 1]t R)时,求 f(x)最值. 对二次函数区间最值结合函数图象总结如下: f ( 一),m 一 n 如图4) 2a 2a f(jn), 一 m 如 图5) 2a f(n), 一 n 如图3) 2a f(x) max f(n),攵 2a n如图6) f ( -^), m 2a f (n),攵 2a b 2a m如图8) f m), b 2a 1 / 一 m 2 n)如图9) f n), b 2a i / -m 2 n)如图10) n 如图7) f(x)min 3、轴变区间定 二次函数伴随参数变化而变化,即其图象是运动,但定义域区间是固定,我们称这种状况是动二次函数在定区间上最值”。 例4.已知X2 1,且a 2 0,求函数f (x) x2 ax 3最值。 例5.⑴求f (x) X2 2ax 1在区间[-1,址 最大值。 ⑵求函数y x(x a)在x [ 1,1] 上最大值。 4, 轴变区间变 二次函数是含参数函数,而定义域区间也是变化,我们称这种状况是动二次函数 在动区间上最值”。 例 6,已知 y2 4a(x a)a 0),,求U (x 3)2 y2最小值。 (二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上最值,求函数或区间中参数取值。 例7.已知函数f (x) ax2 2ax 1在区间[3,2]上 最大值为4,求实数a值。 X2 例8.已知函数f (x)— X在区间[m,n]上 最小值是3m最大值是3n ,求m , n 值。 例9,已知二次函数f (x) ax2 (2a 1) x 1在区间 3, 2上 最大值为3,求实数a 2 值。 二次函数在闭区间上 最值专题演习 1.函数y x2x 1在[1,1]上 最小值和最大值分别是 ( ) (A)1 ,3 (B); ,3(C ) 2 ,3 (D ) 1 4, 3 2.函数y x24x 2在区间1,4]上最小值是 ( ) (A) 7 (B) 4C) 2 (D)2 3.函数y 8,, ——-一T最值为 ( ) x2 4x 5 (A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值,最大值为8 (C)最小值为0,不存在最大值(D )不存在最小值,也不存在最大值 4. 若函数y2 V X2 4x,x [0,4]取值范围是 5. 已知函数f (x) ax2(2a 1)x 3(a尹0)在区间[3,2]上 最大值是1,则实数 a 值为 6. 已知函数y x2 2x 3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m 取值范围是 () (A) 1,)(B) [0,2](C) 1,2](D) ( ,2] 7. 设 f(x) x2 4x 4,x [t,t 1] t R),求函数 f(x)最小值. 8. 已知函数f (x) 4x2 kx 8在[5,20]上具有单调性,求实数k取值范围。 9. 若函数f (x)(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对一切x R恒成立,则a取值范围() A. ( ,2] B. [ 2,2] C. ( 2,2] d. ( , 2) 10..已知函数f (x) 4x2 4ax 2在(-,0]内单调递减,则3取() A. a 3 B. a 3 C. a <-3 D. a 11. 已知函数 f(x) x2 kx在 [2,4]上是单调函数,求k 取值范围。 12. 已知函数 f(x) x2 2x 3在[0,m]上有最大值是3,最小值是2,求m 取值范围。 13. 已知函数 f(x) 3v x2 4 最大值为M,最小值为m,则M+m= 14. 已知函数 f(x) 4x2 4ax a2-2a+2在[0,2]上 最小值为3,求a值。 15.求函数f (x) x2 2|x|+3 单调区间。 16. 已知函数f (x) 2x2 6x在下列定义域上值域: (1 )定义域为{x Z 0x3} (2)定义域为[-2,1]. 17. 已知函数f (x)x2 ax 3 a,若x [ 2,2],有f (x) 2恒成立,求a取值范围。 18. 已知函数f (x) x2 x a,其中a 2,求该函数 最大值与最小值。 19已知二次函数f (x) x2 6x a 函数值总为负数,求a 取值范围。 20.已知二次函数f (x) (m 6)x2 2(m 1)x m 1图像与x轴总有交点,求m 取 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 值范围。 已知二次函数f (x) 已知函数 已知函数 已知函数 已知函数 已知函数 已知函数 f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) x2 (m 1)x m mx 2(m 2 m )x 2 (a x2 x2 (m x2 2) x2 2(a 2)x 3顶点在y轴上,求m 值。 图像有关y轴对称,求m 值。 4 0对一切x恒成立 4ax, (1 x 3)是单调增函数,求实数a ax 1有负值,求a 取值范围。 2)x2 3 2m 图像在x轴下方,求m ax 1 0对于一切x(0,;]成立,求a 求m 取值范围。 取值范围。 值。 取值范围。 取值范围。 28.已知函数f(x) 2x2 mx 3,当x ( , 1]时是减函数,求m 29已知函数f(x)定义域是R,求a取值范围。 3。.已知函数f(x)幻4ax 2a 6 (x R)值域为,求,值 31..已知函数f(X) X2 4x印对于x (0,1恒成立,,求m 取值范围。 32..已知函数f (x) X2 bx c在[0,)上是单调函数,则b 取值范围。 33.已知函数f (x) 2x2 (2 a)x 2a (a 2),求在[0, 2]上 最小值。 34.已知函数f (x) 2x2 (2 a)x 2a,在[0,2]上是单调函数,求a取值范围。 35.已知函数f (x) 2x2 (2 a)x 2a,在[t,t 2]上是偶函数,求a 取值范围。 36.当a=—2时,求.函数f (x) 2x2 (2 a)x 2a 在[t, t 2]上 最小值。 37-已知函数f(x) J2x2—(2 a)x 2a宅立蚌斗d为 上 Vdjx za正乂域为r,求a取值范围。 38. 已知函数f(x) X2 2ax 1,求x [ 2,1]上最值。 39. 已知函数f (x) X2 2x 1,求 X 血,m 1]上最值。 40.已知函数f (x) X2 2ax 1 a, x [0, 1]上最值为2,求a值。 41.已知函数f (x) X2 2x 2: (1)若x R ,求f (x)最小值。 (2 )若x [1, 3],求f (x)最小值。 (3)若x [a, a 2] ,a R ,求 f (x)最小值。 42. 已知函数f(x)X2 2kx 3,求x [ 1, 2]上 最大值 43, 已知函数f(x) kx2 2kx 1,求x [3,2]上最值。 44. 已知函数 f(x) 3x2 3x i b2,求 x [ b,b] ,b( 0)上 最值。 45.已知函数f (x) x(x t) 1,求x [1,1]上最值。 46.已知函数f (x) ax2 (2a l)x 3,求 x 47.已知函数f (x) X2 ax 3,求 x [0,1]上 最值。 48.已知函数f (x) x(x a),求x [ l,a]_h 最大值。 49. 已知函数f (x) X2 50. 若不等式9x2 6ax 51. 已知函数f(X) X2 52. 已知函数f (x) ax2 2ax 1,在 x [ 1, 2]上a2 2a 6 0 在-x2x 3 ,求 x [t, t 1]上 2ax 5 ,求 x [0, 3止 最大值为4,求a值。 1 内恒成立,求a取值范围 最值。 最值。 53.已知函数f (x) 2x2 ax 3,求 x [ 3,1]上 最值。 3x 8 ,求x [ 2,]上最值。 3a)x2 2x a,求 x [0,1]上 最值。 (2t l)x t2 1,当t取何值时,函数最小值为 2tx 1,求x [ 1,1]上 最大值。 4x a ,在 x [0, 6止 54. 已知函数f (x)ax2 55. 已知函数f (x)(4 56. 已知函数f (x)X2 57. 已知函数f (x)X2 58. 已知函数f (x)X2 59. 已知函数f (x)X2 60. 已知函数f (x)X2 61. 已知函数f (x)X2 62. 已知函数f (x)X2 63. 已知函数f (x)X2 2ax 4 ,在 x [0, 3止 2ax 4 ,在 x [1, 3]上 2ax 4 ,在 x [1, 3]上 10x 30 ,在 x [a,a 10x 30 ,求在 x [a,a最大值为13,求a值。 最小值为1,求a值。 最大值为13,求a值°值域。 3]上最小值为6,求a 3]上最小值。 a 64. 已知f (x) X2 ax亏,在区间[°』]上 最大值为g(a),求g (a)最小值。
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