二次函数的解法及练习题.docx

授课类型
S-一元二次函数
教学目标
1. 二次函数的有关概念
2. 解二次函数的方法
3. 二次函数根与系数的关系

教学内容

第一课时一元二次函数概念及解法（1）
考点一：一元二次函数的概念
1. 定义：等号两边都是等式，只有一个未知数（一元），而且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式时a*2+b*+c=0（a尹0），其中a*2是二次项，a是二次系数，b*是一次项，c是常数项。
3. 使等式左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的解
注：一元二次方程的三要素
1）整式方程
2）只含有一个未知数
3）未知数的最高次数是2
4. 一元二次不等式的解的判定方法。将解的这个值代入到一元二次方程的左右两边，看方程的两边是否相等，若相等，则这个数就是方程的解；若不等，则不是这个方程的解。
典型例题：
例1.在下列方程中，一元二次方成有

Q *3-2*2=0@ 3*2- —+6 = 0@4*2= v3
提
Q a*2+b*+c=0 Q *2+4*-6=0 Q (*-2)(*+3)=2-1
例2.若(a-1) *2+b*+c=0是关于*的一元二次方程，则()
A a尹0 B a尹1C a=1 D a尹-1
例3.若(a+6 ) *a+2+a*-12=0是关于*的一元二次方程，则()
A a尹-6 B a=-2 C a尹-0 D a=0
考点二:一元二次函数的解法。
解一元二次方程，我们通常使用的三种方法为“公式法、配方法、因式分解法”，这三种方法的使用特点各不相同。“公式法”对任何二元一次函数都可以使用，根据我们要解的方程不同选择合适的解法。
1. 配方法
一般对于*2=p
(1) 当P>0时，根据平方根的意义，方程*2 = P有两个不相等的实数根：1= V^ 2= -V^o
(2) 当P=0时，方程*2 = P有两个相等的实数根，1= 2= 0
(3) 当p<0时，因为对任意实数*都有*2>0,所以方程*2 = p无实数根。
如果方程能化成*2=p或(m*2+n ) 2=p(p > 0)的形式，则可得*=±v=或m*+n= ±v^
通过配成完全平方形式来解一元二次的方程的方法，叫做配方法，配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个二元一次的方程来解。
配方法的一般步骤：
(一) 移项。将常数项移到等号的右边，含未知数的项移到等号的左边

（二）二次项系数化1。等号左右两边同时除以二次项系数三）配方。等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方。
四）写成（*+h）2=k （k> 0）的形式。
五）直接开平方法求解。
2. 公式法。
我们先要将一元二次方程转化为一般形式，然后找出一般形式中的b、c”将其带入到求
根公式中的
=b 2-4ac > 0时，方程a*2+b*+c=0（a尹0）的实数根可以写成
*=——±： 2 4——的形式，这个式子叫做一元二次方程a*2+b*+c=0的求根公式。
把各系数直接带入公式，求出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法”用公式法解一元二次方程的步骤（一）把方程化成一般形式（a*2+b*+c=0 ）
（二）确定a、b、c的值三）计算 的值（b2-4ac）
带入求根公式，解出］、2无实数根
3. 因式分解法
通过因式分解
是一个一元二次的方程转化为两个一次的乘积等于0的形式，再使这两
个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方
法的步骤（一）移项。将方程的右边转化为零（二）化积。把方程左边分解为两个一次项式的乘积

(三) 转化。令每个因式分解分别为零，得到两个一元一次方程。
(四) 求解。解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
典型例题
1. 用公式法解下列方程。
(1) *-2*-8=0(2)4y=1-3y2(3)3y+1=2 v3y
(4)2*-5*+1=0(5)-4*-8*=-1(6)v2*2-v3*-v2=0
2. 用配方法解下列方程。
(1) *2-4*=96
(2) *2-4*-5=0
(3) y2-6y-6=0
(4) 3*2-2=4*
(5) 3*2+2*-7=0
(6 )2*2+3*-1=0
3. ( 2019**, 9)用配方法将二次函数y=*2-8*-9化为y=a(*-h》+k的形式为
A.y=(*-42»7B.y=(*-42)-25
C.y=(*+4》+7D.y=(*+4)2-25
4. 用因式分解法解下列一元二次方程。
(1) 2(*+2-4=0(2) (*-1)(*-2)=2(*+2) (3) 9(2*-3)4(2*+1)2=0
(4) 2=2*(5)*-6*+8=0(6) 2-3*-4=0

第二课时一元二次方程根的判断式和根与系数的关系
考点三：一元二次方程根的判断式及应用
1. 判断式。
a*2++b*+c=0 （a尹0）配成（*+厂）2=—后，可以看出，只有当b2-4ac > 0时，方程
才有实数根，这样b2-4ac的值就决定着方程根的情况。
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程a*2++b*+c=0 （a尹0）根的判别式，通常用“”表
示它，及=b 2-4ac。
一元二次方程根的判别式三种情况
（1）〉0,方程有两个不相等的实数根。
（2）=0,方程有两个相等的实数根（一个实数根）。
（3）<0,方程没有实数根。
注意：
=b 2-4ac只适用于一元二次方程。
使用时，先要将一元二次方程转化为一般形式后，才可求。
当=b 2-4ac。〉0时，方程才有实数根
2. 一元二次方程跟与系数的关系。

r 2,由求根公式得
若一元二次方程a*2+b*+c=0(a尹0)有实数根，设这两个实数根为
*=二 2 4( 2 4>0),令广 +：24,
此可得

1+2
这一结论可表述为：一元二次方程的两个跟的和等于一次项系数与二次项系数的比的相
反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比，此结论称为“一元二次方程根与系数的关系”。
应用:
(1)验根：不解方程，利用一元二次方程跟与系数的关系，可以检验两个数是不是一元二次方程的
两根。
(2)已知方程的一个根，求另一个根及未知数系数。
(3不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求关于 卜 2的对称式的值。
(4一直方程的两根满足*种关系，确定方程中字母的系数的值
拓展:
⑴12+ 22= ( 1+ 2) 2-2
⑵-T +^=_1+_2
1212
⑶(1+a ) ( 2+a)= = 1+
2+a( 1 + 2)+a2

⑷ I 121=)2=2)2 4 1 2
(5) 以 卜2为根的一元二次函数(二次项系数为1)为
22-(1+2)*+1 2=0

典型例题：
1.已知关于*的方程*2-(2k-3)*+k+1=0有两个不相等的实数根1、2
(1)求k的取值*围
(2试说明 1<0，2<0；
第三课时 二次函数函数巩固练习
一.用适当的方法解下列一元二次函数(用你认为最简单的方法)
(1)3*(*-1)=*(*+5) ( 2 ) 2*2-3=5* ( 3 ) *2-2y+6=0
(4 ) *'-7*+10=0 ( 5 ) (*-3) ( *+2)=6 ( 6 ) 4(*-3)+*(*-3)=0 .
(7 ) (5*-1-2=0 (8) 3y-4y=0 (9) *-7*-30=0
(10 ) (y+2)(y-1)=4(11) 4*(*-1)=3(*-1)(12) (2*+1-25=0

(13) 2-4a*=b 2-4a2(14) *+^5*=31(15) (y+3)(y-1)=2
36
(16) &-(a+b)*+b=0(a 尹 0) ( 17 ) 3*2+(9a-1)*-3a=0
(18 ) *-*-1=0 ( 19 ) 3*2-9*+2=0( 20 ) *+2a*-b 2+a 2=0