2025届甘肃省白银市靖远一中高三11月期中考-数学试卷（含答案）.docx

高考模拟卷·数学
（
120 分钟 150 分）
考生须知：
1
2
.本卷侧重：高考评价体系之综合性.
.本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题 7）；②考查不同层面之间、
纵向的融会贯通的综合能力（题 19）.
3
4
.本卷典型情境题：题 3、11.
.本卷测试范围：高考全部内容.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
3
2
+i
-i
z =
1
. 复数
在复平面内对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
r r
r
r
π
r
r
. 已知向量 a ， b 的夹角为 ， a =1，
b = 2
，则
3b - a =
（
）
2
4
A. 2
B.
5
C. 13
D. 5
ax2 -2x -4 = 0 a ¹ 0
(
)有一个正根和一个负根”的必要不充分条件是（
3
. “一元二次方程
）
A a > 0
B. a > -1
C. a < 0
D. a >1
4. 某校组织了一次数学测试（满分100分），所有考生的成绩均在[50,100]内，按照
[70,80)
，
50,60
，60,70
，
80,90 ， 90,100 分成五组.甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则（
）
A. 成绩在 50,60 内的考生中，乙班人数少于甲班人数
B. 甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
C. 甲班成绩在 80,90 内的人数最多
第 1页/共 5页

D. 乙班成绩在[70,80)
内的人数最多
y
2
= 8x 上的点到其准线的距离与到直线 y = 2x + 3 的距离之和的最小值为（
）
5
. 抛物线
2
7
4 7
5
7 5
5
A
5
B.
C.
D.
3
u
uur 2 uuur uuur
uuur
2
ABC - A BC
E,F
AE = AB AF = AC
，
EB C F
，平面
6
. 如图所示，在三棱柱
中，若点
分别满足
）
将
1
1
1
1
1
3
3
V ,V
1
V :V =
三棱柱分成体积为
的两部分，则
（
2
1
2
A. 19:8
B. 2:1
C. 17 :10
D. 16 :11
. 已知函数 f (x)= ex -eπ-x -cos x
，若实数
x，x ，x
成等差数列，且
3
7
1
2
(
)+ ( )+ ( ) =
+
x2 + x3
=
f x1 f x2 f x3
0
x
1
，则
（
）
π
2
3π
A. 0
B.
C.
D. 3π
2
. 已知定义在 R 上的函数 ( )满足
f x
2 f (x + y) f (x - y)= f (x)+ f (y )
，且
f (0) ¹ 0
，则下列结论正
8
确的是（
）
A. f (0)= -1
B. 函数
f (x)
为奇函数
C. 函数 ( )有 2 个零点
f (2x) = f (x)
D.
f x
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9
. 一纸盒中共有 6 张形状和质地一样的卡片，其中 4 张是红色卡片，2 张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地
随机取 4 次，每次取 1 张卡片，取到红色卡片记 1 分，取到黄色卡片记 0 分，记 4 次取卡片所得的总分数
为 X ，则（
）
æ
è
1 ö
2 ø
32
81
P(X = 3) =
B.
X : Bç4, ÷
A.
第 2页/共 5页

8
3
7
9
C. E (X ) =
D.
D(X ) =
0. 已知曲线 E ：
x
2
+
y
2
-
2 x
-
= ( + ¹ )
2 y 0 x2
，则（
y
2
0
）
1
A. 曲线 E 围成的图形的面积为 2 + 4π
B. 曲线 E 的长度为 4π
C. 曲线 E 上任意一点到原点的距离的最大值为 2
D. 曲线 E 上任意两点间的最大距离为 4
y = f (x)
f ¢¢(x) = 0
有实数解 ，则称点
x
0
11. 设ꢀ′ ꢁ 是三次函数
的导数，ꢀ″ ꢁ 是ꢀ′ ꢁ 的导数，若方程
y = f (x)
(x , f (x ))
为三次函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次
0
0
f (x) = x3 +bx2 + cx ，则以下说法正确的是（
函数图象的对称中心．设函数
）
æ
b
æ b öö
è 3 øø
ç- , f ç- ÷÷
f (x)
f (x) 有极值点，则b2 -3c > 0
A.
的拐点为
B.
è
3
D. 若b = -3， c =1，则 f (2 - x) + f (x) = -2
f (x)
C. 过
的拐点有三条切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
m
1
1
2. 已知集合
A = {x∣1< x < 2}，集合 B ={x∣x > m}，若 AÇ(ðR B)= Æ
，则 的取值范围为__________.
æ
π ö
3
2
3. 已 知 a 是 第 二 象 限 角 ， 且 sina + cosa = -
， 则
sinça + ÷ =
__________ ，
è
4 ø
5
æ
è
π ö
12 ø
cosça - ÷ =
_
_________.
x
2
+ y2 = 1(a > 1) 的左、右焦点分别为
F、F
y
PF
，点 P 是 轴正半轴上一点， 交椭圆于
1
4. 已知椭圆：
1
2
1
a
2
AF2 ^ PF ，且VAPF
点 A，若
的内切圆半径为 1，则该椭圆的离心率是______．
1
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5. 在V ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 ，b ， ，且
asinB = bsin2A.
a
c
1
（1）求角 A 的大小；
1
（
2）若b
2
- a2 = c2
cosC
，求
.
2
第 3页/共 5页

ABC - A BC
BCC1B
是边长为 2 的等边三角形，四边形 为菱形，
1
6. 如图，在三棱柱
中，V
ABC
1
1
1
1
Ð
CBB1 = 60o
ABC - A BC
三棱柱 的体积为 3．
，
1
1
1
（
1）证明：平面 ABC ^ 平面
BCC1B
；
1
（
2）若 D 为棱
AC1 的中点，求平面CDB
与平面
AB1D
的夹角的正切值．
1
1
f x = x + ae-x +1, aÎR
7. 已知函数 ( )
(
).
1
(
)
(
( ))
0, f 0
y= ( )
( ( ))
1, f 1
处的切线方程；
f x
f x
（1）若曲线 y=
在点
处的切线的斜率为 0，求曲线
在点
(
)
f x
a
（2）若函数
有两个零点，求实数 的取值范围.
y
2
18. 已知双曲线C ：x
2
-
=1的左、右焦点分别为 F ，F ，O为坐标原点，A 为双曲线C 的左顶点，P
1
2
3
为双曲线C 右支上的一点（非顶点），ÐF1PF
的平分线 PM 交 轴于点 M .
x
2
F
2
F N ^ PM
2
于点 ，求
N
ON
（1）过右焦点
作
.
（
2）证明：点 P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为定值.
æ
è
1 ö
2 ø
Qç ,1÷
k
作斜率为 的动直线 与双曲线
l
C
的右支交于不同的两点G ，H ，求斜率 的取值范围.
k
（3）过点
1
9. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出
新的数列．现对数列 1，2 进行构造，第一次得到数列 1，3，2；第二次得到数列 1，4，3，5，2；依次构
(
Î )
次得到的数列的所有项之和记为
n n N*
a
n
造，第
.
n
1, x , x ,L, x ,2
a = 3+ x + x +L+ x
，则 ，请用含 x , x ,L, xk 的代
k
（
1）设第 次构造后得的数列为
1
2
l
n
1
2
1
2
a
a
a
n
数式表达出
，并推导出
与
满足的关系式；
n+1
n+1
（2）求数列{an
}的通项公式
；
a
n
第 4页/共 5页

1
1
1
1
1
3
+
+
+L+
<
（3）证明：
a1 a2 a3
an
第 5页/共 5页

高考模拟卷·数学
（
120 分钟 150 分）
考生须知：
1
2
.本卷侧重：高考评价体系之综合性.
.本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题 7）；②考查不同层面之间、
纵向的融会贯通的综合能力（题 19）.
3
4
.本卷典型情境题：题 3、11.
.本卷测试范围：高考全部内容.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
3
2
+i
-i
z =
1
. 复数
在复平面内对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【
【
【
答案】A
解析】
z
分析】利用复数的除法法则计算可得复数 ，进而可判断在复平面的对应点所在的象限.
3
2
+i (3+i)(2+i) 6+5i +i2 5+5i
【
详解】因为 z =
=
=
=
=1+i ，
-i (2-i)(2+i)
2
2
-i2
5
z （1, 1）
所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限.
故选：A.
r r
r
r
π
r
r
. 已知向量 a ， b 的夹角为 ， a =1，
b = 2
，则
3b - a =
（
）
2
4
A. 2
B.
5
C. 13
D. 5
【
【
【
答案】C
解析】
分析】利用向量的模的计算公式计算可得结论.
r
r r
r
9b
r r
r
r
2
2
(3b a)
【
详解】 3b a
-
=
-
=
2
+
a
2
-
6a b
× = 9´2 +1- 6´1´
2
´
=
13
.
2
故选：C.
第 1页/共 20页

ax2 -2x -4 = 0 a ¹ 0
(
)有一个正根和一个负根”的必要不充分条件是（
3
. “一元二次方程
）
A. a > 0
B. a > -1
C. a < 0
D. a >1
【
【
【
【
答案】B
解析】
a
分析】由根与系数的关系根据条件求得 的范围，可判断结论.
详解】当方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系
ì
2
Δ
= (-2)
-
4a´(-4) 0
>
ï
可知 í
，解得
a > 0
，
4
x x = - < 0
ï
î
1
2
a
a > 0
a > -1，但 a > -1不一定能推出 a > 0
，故 B 符合题意.
由
可以推出
故选：B.
4. 某校组织了一次数学测试（满分100分），所有考生的成绩均在[50,100]内，按照
[70,80)
，
50,60
，60,70
，
80,90 ， 90,100 分成五组.甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则（
）
A. 成绩在 50,60 内的考生中，乙班人数少于甲班人数
B. 甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
C. 甲班成绩在 80,90 内的人数最多
D. 乙班成绩在[70,80)
内的人数最多
【
【
【
【
答案】C
解析】
分析】根据折线图逐一分析判断即可.
详解】对于 A，因为不知道甲、乙两班考生的人数，所以成绩在 50,60 内的考生中无法比较甲、乙两班
考生的人数，故 A 项错误；
对于 B，因为不知道甲、乙两班考生分数的具体值，所以无法比较极差的大小，故 B 项错误；
对于 C，由折线图可知甲班成绩在 80,90 内的人数最多，故 C 项正确；
第 2页/共 20页

对于 D，由折线图可知乙班成绩在 60,70 内的人数最多，故 D 项错误.
故选：C
y
2
= 8x 上的点到其准线的距离与到直线 y = 2x + 3 的距离之和的最小值为（
）
5
. 抛物线
2
7
4 7
5
7 5
5
A.
5
B.
C.
D.
3
【
【
【
答案】D
解析】
分析】根据抛物线的定义，转化距离，利用数形结合，即可求解.
y
= 8x 的焦点坐标为 F (2, 0)，准线方程为 x = -2，
2
【详解】抛物线
MM¢
y = 2x + 3
的距离为 ꢀꢁ ，
设抛物线上的点 M 到其准线的距离为
，点 M 到直线
MM¢ = MF
MM¢ + MN = MF + MN
由抛物线的定义可知
，则
，
4
+3 7 5
(
)
d =
=
F 2,0
y
=
2x
+
3
其最小值为焦点
到直线
的距离，距离
，
4
+1
5
7
5
y
2
= 8x 上的点到其准线的距离与到直线 y = 2x + 3 的距离之和的最小值为
.
即抛物线
5
故选：D
u
uur 2 uuur uuur
uuur
2
3
ABC - A BC
E,F
AE = AB AF = AC
EB C F
，平面
6
. 如图所示，在三棱柱
中，若点
分别满足
）
，
将
1
1
1
1
1
3
V ,V
1
V :V =
三棱柱分成体积为
的两部分，则
（
2
1
2
第 3页/共 20页

A. 19:8
B. 2:1
C. 17 :10
D. 16 :11
【答案】A
【解析】
4
S
= S
VABC
【
分析】根据平行线分线段成比例可求得
，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果.
V
AEF
9
u
uur 2 uuur uuur
uuur
2
3
2
4
【
详解】Q AE = AB ，
AF = AC
，\EF//BC
，
EF = BC ，\S
= S
AEF VABC
；
V
3
3
9
EF
AF
AE
2
3
Q
=
=
=
，\几何体 AEF - A B C
为三棱台，
1
B1C1 A1C1 A1B
1
1
1
ABC - A BC
h
设三棱柱
的高为
，
1
1
1
1
1 æ 4
3è 9
2
ö
ø
\V = (
+
×S
+
S
)× = ç
h
+
+
h
1
SVAEF
SVAEF
VA B C
VA B C
SVABC
SVABC
SVABC ÷×
3
3
1
1
1
1
1
1
1
9
19
27
=
SVABC ×h =
V
，
ABC-A B C
2
7
1
1
1
8
\
V2 =V
-V1 =
V
，\V :V =19:8
ABC-A B C
.
ABC-A B C
1
2
27
1
1
1
1
1
1
故选：A.
. 已知函数 f (x)= ex -eπ-x -cos x
，若实数
x，x ，x
成等差数列，且
7
1
2
3
(
)+ ( )+ ( ) =
+
x2 + x3
=
f x1 f x2 f x3
0
x
1
，则
（
）
π
2
3π
A. 0
B.
C.
D. 3π
2
【
答案】C
解析】
【
æ
è
π
ö
ø
f (π - x)+ f (x)= eπ-x
-ex
+
cos x +ex
-eπ-x
-
cos x = 0，得出 f (x)
关于
ç ,0÷
【分析】先由
对称；再
2
由题意得出结果即可.
第 4页/共 20页

(
) =
-eπ-x -cos x
，
f x
e
x
【详解】因为函数
f (π - x)+ f (x)= eπ-x
-ex
+
cos x +ex
-eπ-x
-
cos x = 0，
所以
æ
è
π
ö
ø
(
)
f x
ç ,0÷
所以
关于
对称；
2
x，x ，x
x + x = 2x
若实数
又因为
成等差数列，则
，
1
2
3
1
3
2
(
)+ ( )+ ( ) =
0，
f x1 f x2 f x3
π
3π
x = , x + x = π
x + x + x =
所以
，所以
.
2
1
3
1
2
3
2
2
故选：C.
. 已知定义在 R 上的函数 ( )满足
f x
2 f (x + y) f (x - y)= f (x)+ f (y )
f (0) ¹ 0
，且 ，则下列结论正
8
确的是（
）
A. f (0)= -1
B. 函数
f (x)
为奇函数
C. 函数 ( )有 2 个零点
D.
f (2x) = f (x)
f x
【答案】D
【解析】
x = y = 0
f (0)=1，不满足 f (-x)= - f (x)
，可得 B
【分析】利用赋值法令
可判断 A 错误；结合 A 可知
1
2
(
)=1
( ) = -
f x
=
( )
f x
没有零点，即 C 错误；令
y = x
，可得
f x
y
错误；解方程可得
或
，所以函数
(
) ( )= ( )+ ( )
( )= ( )
D
正确.
2
f 2x f 0 f x f x
f 2x
f x
，所以
，即
(
+ ) ( - )= ( )+ ( )
f x y f x y
2
f x f y
【详解】由
，
2
f (0)¹ 0
f (0)=1，所以
x = y = 0
2ëé f (0)û 2 f (0)
ù
=
令
，可得
，因为
，所以
A
项错误；
(
)
( )=1，显然不符合 (- )= - ( )
f x
f 0
f
x
f x
函数
的定义域为 R ，因为
，
(
)
f x
所以函数
不是奇函数，所以 B 项错误；
(
f x f y
+ ) ( - )= ( )+ ( )
2é f (x)ù = f (x)+ f (0)
2
2
f x y f x y
y
=
0
由
，令
，可得 ë
，
û
1
2
2
f (x)=1或 f (x) = -
y = f x
，所以函数
( )
即 2ë f (x)û
é
ù
-
f (x)-1 = 0 ，解得
没有零点，所以 项错误；
C
(
+ ) ( - )= ( )+ ( )
f x y f x y
y = x
( ) ( )= ( )+ ( )
2 f 2x f 0 f x f x
2
f x f y
由
，令
，可得
第 5页/共 20页
，

(
)= ( )
( )= ( )
f 2x f x
，所以 D 项正确.
2
f 2x 2 f x
所以
故选：D
点睛】关键点点睛：求解本题关键在于合理利用赋值法解决选项中的问题，对于抽象函数性质问题也可
，即
【
以联想已学的初等函数性质进行具体化分析，进而得出结论.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9
. 一纸盒中共有 6 张形状和质地一样的卡片，其中 4 张是红色卡片，2 张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地
随机取 4 次，每次取 1 张卡片，取到红色卡片记 1 分，取到黄色卡片记 0 分，记 4 次取卡片所得的总分数
为 X ，则（
）
æ
è
1 ö
2 ø
32
81
P(X = 3) =
X : Bç4, ÷
A.
B.
D.
8
3
7
C. E (X ) =
D(X ) =
9
【答案】BC
【解析】
4
6
2
æ
è
2 ö
3 ø
=
=
X ~ Bç4, ÷
【
分析】由题意可知每次取到红色卡片的概率为
详解】由题意可知每次取到红色卡片的概率为
，则
，对选项逐一判断即可.
3
4
6
2
3
æ
è
2 ö
X ~ Bç4, ÷
【
，则
，故 A 项错误；
3 ø
3
æ
2
ö
1
32
81
(
= 3) =
3
4
×
× =
P X
C ç ÷
è ø
，故 B 项正确；
3
3
2
8
3
1
(
) = ´ =
E X
4
，
故 C 项正确；
3
2
8
9
(
) = ´ ´ =
D X
4
，故 D 项错误.
3
3
故选：BC
0. 已知曲线 E ：
x
2
+
y
2
-
2 x
-
= ( + ¹ )
2 y 0 x2
，则（
y
2
0
）
1
A. 曲线 E 围成的图形的面积为 2 + 4π
B. 曲线 E 的长度为 4π
C. 曲线 E 上任意一点到原点的距离的最大值为 2
第 6页/共 20页

D. 曲线 E 上任意两点间的最大距离为 4
【
【
【
答案】BD
解析】
x, y
分析】首先讨论
的正负，去绝对值，得到函数的曲线方程，并画出曲线 E ，利用数形结合，即可判
断选项.
2
2
æ
ö
æ
ö
2
2
【
详解】当 x > 0 ，
y > 0时，曲线
：ç
ç x -
÷ +ç y -
÷ = 1
；
E
÷
ç
÷
2 ø
2 ø
è
è
2
2
æ
ö
æ
ö
2
2
y < 0
y > 0
y < 0
当 x > 0 ，
当 x < 0 ，
当 x < 0 ，
时，曲线 E ：ç x
ç -
÷ +ç +
ç y
÷ =
1；
÷
÷
2 ø
2 ø
è
æ
è
2
2
ö
æ
ö
2
2
ç x +
÷ +ç y -
÷ = 1
时，曲线 ：ç
E
；
÷
ç
÷
2 ø
2 ø
è
è
æ
2
2
æ
ö
ö
2
2
ç +
时，曲线 E ：ç x
÷ +ç +
ç y
÷ =
1.
÷
÷
2 ø
2 ø
è
è
x
2
+ y2 ¹ 0 ，所以
画出曲线 E ，如图所示.
x
，
y
不同时为 0，
因为
曲线 E 围成的图形可分割为 1 个边长为 2 的正方形和 4 个半径为 1 的半圆，
故面积为 2´2 + 2π = 4 + 2π ，故 A 项错误；
曲线 E 由 4 个半径为 1 的半圆弧组成，故周长为 2´2π´1= 4π ，故 B 项正确；
结合图可知曲线 E 上的点到原点的距离的最大值为 2，故 C 项错误；
当曲线 E 上的两点的连线同时过圆心及原点时，两点间的距离最大，最大距离为 4，故 D 项正确.
故选：BD
y = f (x)
f ¢¢(x) = 0
有实数解 ，则称点
x
0
11. 设ꢂ′ ꢃ 是三次函数
的导数，ꢂ″ ꢃ 是ꢂ′ ꢃ 的导数，若方程
y = f (x)
(x , f (x ))
为三次函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次
0
0
f (x) = x3 +bx2 + cx ，则以下说法正确的是（
函数图象的对称中心．设函数
）
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æ
b
æ b öö
è 3 øø
ç- , f ç- ÷÷
f (x)
f (x)
有极值点，则b2 -3c > 0
A.
的拐点为
B.
è
3
D. 若b = -3， c =1，则 f (2 - x) + f (x) = -2
f (x)
C. 过
的拐点有三条切线
答案】ABD
解析】
【
【
æ
b
æ b öö
è 3 øø
- , f ç- ÷÷ ；B 选项，
f ¢(x) = 3x2 + 2bx +c 有变号
【分析】A 选项，二次求导，解方程，求出拐点为
ç
è
3
(
) =
x3
1
f x
f (x)
的拐点只有
零点，由根的判别式得到不等式，得到 B 正确；C 选项，举出反例
，求出过
条切线；D 选项，二次求导得到函数的拐点(1,-1)，从而得到对称中心，，得到 D 正确.
f ¢(x) = 3x2 + 2bx +c ， f ¢¢(x) = 6x + 2b ，
【详解】A 选项，
b
f ¢¢(x) = 0
x = -
令
，解得
，
3
æ
b
æ b öö
è 3 øø
(
)
-
-
f x 的拐点为ç
, f ç
故
÷÷
，A 正确；
è
3
f (x)
f ¢(x) = 3x2 + 2bx +c
有变号零点，
B 选项，
有极值点，则
故 D = 4b2 -12c > 0，故b2 -3c > 0 ，B 正确；
C 选项，不妨设b = c = 0 ，此时 f (x) = x3 ，拐点为(0, 0)
，
f x 3x2
¢
( ) =
(
x0 , y
)
=
x3
0
y
0
，切点为
，
，
0
y = 3x0
2
x ，
故切线方程为
将(0,0)
x
0
=
0
代入
y
=
3x0
2
x
得，
，
f (x)
故过
D 选项，b = -3， c =1时，
f ¢(x) = 3x -6x +1， f ¢¢(x) = 6x - 6 ，
f ¢¢(x) = 6x - 6 = 0得， x =1，则 f (1) =1-3+1= -1，
的拐点有 1 条切线，C 错误；
f (x) = x3 -3x2 + x ，
2
令
故拐点为(1,-1)
，
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f (x) = x3 -3x2 + x 关于点(1,-1)对称，
则
f (2 - x) + f (x) = -2
所以
，D 正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导
函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质比如三次函数零点问题，极值点情况
等.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
2. 已知集合
A = {x∣1< x < 2}，集合 B ={x∣x > m}，若 AÇ(ðR B)= Æ
，则 的取值范围为__________.
m
【答案】(-¥ ]
,
1
【
解析】
分析】根据题意，得 A Í B ，从而可得 的取值范围.
m
【
Q
【详解】
A
Ç(ð )= Æ ，\ A Í B ，\m £1.
B
R
故答案为： m≤1.
æ
è
π ö
sinça + ÷ =
__________ ，
3
2
1
3. 已 知 a 是 第 二 象 限 角 ， 且 sina + cosa = -
， 则
4 ø
5
æ
è
π ö
12 ø
cosça - ÷ =
_
_________.
3
3 3 + 4
【
【
【
答案】
①. -
②. -
5
1
0
解析】
æ
π ö
4 ø
æ
è
π ö
12 ø
æ
è
π
π ö
3 ø
sinça + ÷
cosça - ÷ = cosça + - ÷
分析】首先利用辅助角公式，化简求
的值，再利用角的变换，
，
è
4
即可求解.
æ
è
π ö
4 ø
3 2
5
æ
è
π ö
4 ø
3
5
详解】sina +cosa = 2 sin ça + ÷ = -
，得
sinça + ÷ = -
，
【
π
3π
4
π
5π
因为 + 2kπ <a < π + 2kπ，则
+
2kπ < a +
<
+ 2kπ， k Î Z
2
4
4
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æ
è
π ö
4 ø
4
5
cosça + ÷ = -
则
故
，
æ
è
π ö
æ
è
ö
æ
ö
3
= - 3 +4.
10
π
π
4 1
3
3
cosça - ÷ = cosça + - ÷ = - ´ +ç- ÷´
12 ø
4
3 ø
5 2 è 5ø
2
3
3 3 + 4
故答案为：- ； -
5
1
0
x
2
2
+ y2 = 1(a > 1) 的左、右焦点分别为
F、F
y
PF
，点 P 是 轴正半轴上一点， 交椭圆于
1
4. 已知椭圆：
1
2
1
a
AF2 ^ PF ，且VAPF
点 A，若
的内切圆半径为 1，则该椭圆的离心率是______．
1
2
6
1
3
6
【答案】
##
3
【
【
解析】
AF - AF = 2
分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得
，结合椭圆的定义以及勾股
2
1
c
2
= 2,a2 = 3，即可求得椭圆的离心率.
定理可得
【详解】如图，VAPF
E, F,G
，
的内切圆与三边分别切于点
2
AF2 ^ PF
PG = PF , EF = FF , AG = AE =1
若
，则
，
1
2
2
PF1 = PF
GF1 = FF
GA + AF = AE + AF = EF
，可得
因为
2
，则
，
2
2
1
1
2
AE + AF = AE + EF = AF
AF - AF = 2 AE = 2
则
，可得
，
1
2
2
2
1
2
+
2
=
(
AF2 - AF
)
2
+
×
=
因为
4
AF
AF2
2 AF AF2 4c 2 ，
1
1
1
+ 2 AF × AF = 4c2
AF × AF = 2c2 -2
，
即
，可得
1
2
1
2
第 10页/共 20页

又因为( AF AF ) ( AF AF1 )2 4 AF AF2 ，
2
+
=
-
+
×
1
2
2
1
4
a
2
=
4 4 2c2
+ ( - )
2
，可得 a2 2c2 -1，
=
即
且 a2 = b2 + c2
= 1+ c2 ，解得 c
2
= 2,a2 = 3，
c
c
2
6
所以椭圆的离心率是 e =
=
=
．
a
a
2
3
6
故答案为：
.
3
【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关
系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求 e 的值．焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线
的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5. 在V ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 ，b ， ，且
asinB = bsin2A.
a
c
1
（1）求角 A 的大小；
1
（
2）若b
2
- a2 = c2
cosC
，求
.
2
π
A =
【
（
答案】（1）
3
2
7
2）
7
【
解析】
分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解；
【
a,b,c
之间的关系，再利用余弦定理即可得解.
（2）根据余弦定理结合已知求出
【小问 1 详解】
因为
asinB = bsin2A，所以由正弦定理得sinAsinB = sinBsin2A，
BÎ(0, π)
¹
0
因为
，所以sinB
，
所以sinA = sin2A ，则sinA = 2sinAcosA
，
1
因为sinA ¹ 0
，所以
cosA =
，
2
π
3
又因为 0 < A < π ，所以
A =
；
第 11页/共 20页

【
小问 2 详解】
π
3
π
Q A = ，\由余弦定理可得
2
= b2 + c2 - 2bccos
a
， b a2 bc c ，
\
2
-
=
-
2
3
1
1
3
2
2
- a2 = c2 ，\bc -c2 = c2 \b = c
，
又b
，
2
2
2
1
7
4
7
\
a
= b2 - c2 = c2 ，即 =
，
a
c
2
2
7
9
c
2
+ c2 -c2
a
2
+b2 -c2
2 7
7
4
7
\cosC
=
= 4
=
.
2
ab
3
2
´
c´ c
2
2
ABC - A BC
BCC1B
是边长为 2 的等边三角形，四边形 为菱形，
1
6. 如图，在三棱柱
中，V
ABC
1
1
1
1