2025届北京市海淀高三10月考试-数学试题（含答案）.docx

数学试题
2
024.10.06
本试卷共 4 页，共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上
作答无效.
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
{
-
- }
2m 1,m 3
M
=
-3Î
M
1
. 设集合
，若
B. -1
，则实数 m=（
C. 0 或 -1
）
A. 0
D. 0 或 1
S
{a }
S = 0，a = 5
2
. 记 为等差数列
的前 n 项和．已知
，则
n
n
4
5
1
an = 2n -5
an = 3n -10
Sn = 2n2 -8n
S = n2 - 2n
A.
B.
C.
D.
n
2
3
. 已知 a = 0.31.5 ,b = log1.5 0.3,c =1.50.3 ，则（
）
A. a < b < c
B. b < a < c
C. a < c < b
D. b < c < a
4
. 设(1-i z = 2 1+ i
)
(
)，则 z =
（
）
2
A.
B. 1
C.
2
D. 2
2
5
. 下列函数中，既是偶函数又是区间
(0,+¥)上的增函数的是（
）
1
A. y = x
B. y =
x
2
3
x
-3-x
y = lg x
y =
C.
D.
2
r
r r
r
r
r
a = 3,4 b = (1,0)
( )，
a,c = b,c 则实数t =
6
. 已知向量
， c = a + tb ，若
（
）
A. -6
B. -5
C. 5
D. 6
f x = cos x + a + sin x + b
. 函数 ( )
(
)
(
)，则（
7
）
π
A. 若 a + b = 0，则 ( )为奇函数
f x
B. 若
a + b =
，则
，则
f (x)
为偶函数
为奇函数
2
π
C. 若b - a =
，则
( )
f x
为 偶函数
D. 若
a - b = π
( )
f x
2
ì
ï -x, x < 0
. 已知函数 f (x)= í
x £1有 f (x + 2m)+ f (x)> 0
恒成立，则实数 的取值
m
8
，若对任意的
ïî- x, x ³ 0

范围是（
）
A. (-¥,-1)
(-¥,-1]
(-¥,-2)
D.
(-¥,-2]
B.
C.
p
9
. 已知 a 、b 、 e 是平面向量， e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量b 满足
3
v
b
2
- 4e ×b + 3 = 0 ，则 a - b 的最小值是
3 -1 B. 3 +1
0. 已知函数 f (x) = x +1 + k ，若存在区间[
A
C. 2
D. 2 - 3
1
a,b]，使得函数 f (x) 在区间[a,b]上的值域为[a +1,b +1]
则实数 k 的取值范围为（
）
æ
è
1
ö
ø
æ
1
ù
û
(-1,+¥)
(-1, 0]
ç- ,+¥÷
ç- ,0
D.
ú
A.
B.
C.
4
è 4
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
æ π
sinç +a ÷ =
__________.
ö
ø
æ
è
1
ö
ø
1
1. 已知角 α 的终边与单位圆交于点 Pç , y÷ ，则
2
è 2
{a }
S = 2a +1
S =
，则
S
n
的前 项和，若
1
1
2. 记 为数列
_____________．
为假命题的 a 的取值范围是______
n
n
n
n
6
xÎR,ax2 + 2x + a ³ 0
3. 若命题“对任意
f x = Acos x -sin x A > 0
(
)的最大值为 2 ，则
A =
f (x)
________， 的一个对称中心为
1
_
1
4. 若函数 ( )
______
y = f (x)，若在其定义域内存在 ，使得
x
x f (x ) =1
f (x)
成立，则称函数 具有性质 P .
5. 对于函数
0
0
0
（
1）下列函数中具有性质 P 的有___________.
(
)= -2x + 2 2
f x
①
(
) =
( Î[0,2π])
f x sin x x
②
③
④
1
(
) = x +
f x
，（푥 ∈ (0, + ∞)）
x
f x = ln x +1)
( )
(
2）若函数 f (x)= aln x
a
（
具有性质 P ，则实数 的取值范围是___________.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
6. 在VABC 中，sin A = 2 sin B ，b = 2 ．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作
1

为已知，使VABC 存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（
（
1）求角 B 的大小；
2）求VABC 的面积．
条件①： c = 4；条件②：b2 - a2 = c2 - 2ac ；条件③：
S = a = 20
{ }
acos B = bsin A．
S
n
{ }
b
2
3
= b
1
7. 已知 是等差数列 푎 的前 项和，
，数列 푏 是公比大于 1 的等比数列，且
，
n
푛
5
11
푛
6
b -b =12
.
4
2
（
1）求数列{
푎 } {푏 }
和
的通项公式；
푛
푛
Sn
bn
c =
n
c
n
（
2）设
，求使 取得最大值时 的值.
n
π
3
2
f (x) = 6 cos xsin(x - ) +
1
8. 已知函数
．
6
f (x)
（
（
1）求
2）若函数
的最小正周期和单调增区间；
π 5π
y = f (x) - a 在 xÎ[
存在零点，求实数 a 的取值范围．
,
]
1
2 12
ax2 + x -1
1
9. 1.已知函数 f (x) =
， a ³ 0 .
e
x
（
（
1）讨论函数 ( )的单调性；
f x
f (x)在区间(0,1)
上有且仅有一个零点.
a > 0
2）当
时，求证：函数
0. 已知函数 f (x)= ex sin x - 2x
2
.
y = f x
( )在点
(0, f (0))
处的切线方程；
（
（
（
1）求曲线
2）求 ( )在区间
[-1,1]上的最大值；
f x
f (x)+ x > aex
a
Î
a
3）设实数 使得
对 x R 恒成立，写出 的最大整数值，并说明理由.
{
ÎN*}
( ) ( )
=
+
+L+
a ,1£ i < j,i, j
j
21. 已知数列{푎푛}记集合T
=
S i, j S i, j ai ai+1
푎 } 1, 2,3，列出集合T
（
（
1）对于数列{
：
的所有元素；
푛
a = 2n 是否存在i, j ÎN
*
S (i, j)=1024
i, j
？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存
2）若
，使得
n
在，说明理由；
a = 2n - 2 把集合T
B :b ,b ,L,b ,L. b £ 2020
（
，
3）若
中的元素从小到大排列，得到的新数列为
若
n
1
2
m
m
m
求
的最大值.

数学试题
2
024.10.06
本试卷共 4 页，共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上
作答无效.
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
{
-
- }
2m 1,m 3
M
=
-3Î
M
1
. 设集合
，若
B. -1
，则实数 m=（
C. 0 或 -1
）
A. 0
D. 0 或 1
【
【
【
答案】C
解析】
分析】根据元素与集合的关系，分别讨论
2
m -1= -3和 m -3 = -3两种情况，求解
m
并检验集合的互
异性，可得到答案.
M = 2m -1,m -3}，若 -3Î M
{
【
Q
详解】设集合
，
-3Î M ，\2m -1= -3或 m -3 = -3，
m -1= -3时， m = -1，此时 M = {-3,-4}
2
当
；
当
m -3 = -3时， m = 0，此时 M = {-3,-1}
；
所以 m = -1或 0 .
故选：C
S
{a }
S = 0，a = 5
2
. 记 为等差数列
的前 n 项和．已知
，则
n
n
4
5
1
an = 2n -5
an = 3n -10
Sn = 2n2 -8n
S = n2 - 2n
D.
A.
B.
C.
n
2
【
【
答案】A
解析】
a5 = 5
【
分 析 】 等 差 数 列 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 ． 本 题 还 可 用 排 除 ， 对 B，
，
4
(-7 + 2)
S4 =
= -10 ¹ 0
S = 0,a = S - S = 2´52 -8´5- 0 =10 ¹ 5
排除 B，对 C， ，排除 C．对
，
4
5
5
4
2
1
5
S = 0,a = S - S = ´52 - 2´5- 0 = ¹ 5
D，
，排除 D，故选 A．
4
5
5
4
2
2
ì
d
S = 4a + ´4´3 = 0
ìa = -3
ï
4
1
1
a = 2n -5
，故选 A．
n
í
2
í
【
详解】由题知，
，解得
，∴
d = 2
ï
î
a = a + 4d = 5
î
5
1

【
点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数
列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
3
. 已知 a = 0.31.5 ,b = log1.5 0.3,c =1.50.3 ，则（
）
A. a < b < c
B. b < a < c
C. a < c < b
D. b < c < a
【
【
【
答案】B
解析】
分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.
a = 0.31.5 Î 0,1 b = log 0.3 < 0
，1.50.3 >1，
( )，
【
详解】由条件可知，
1
.5
所以b < a < c
.
故选：B
4
. 设(1-i z = 2 1+ i
)
(
)，则 z =
（
）
2
A.
B. 1
C.
2
D. 2
2
【
【
答案】D
解析】
2(
1 i
+ )
= 2i ，求出模长.
【
【
分析】利用复数除法法则计算出 z =
1
-i
2(
+ )
( + )2
2 1 i
1 i
详解】 z =
=
z = 2.
=1+ 2i + i2 = 2i ，故
1
-i
1-i2
故选：D
5
. 下列函数中，既是偶函数又是区间
(0,+¥)上的增函数的是（
）
1
A. y = x
B. y =
x
2
3
x
-3-x
y = lg x
y =
D.
C
2
【
【
【
答案】C
解析】
分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．
(0,+¥)上的增函数，错误；
【
详解】选项 A， y = x 是非奇非偶函数，是区间

1
y =
是偶函数，是区间
(0,+¥)上的减函数，错误；
选项 B，
x
2
y = lg x
是偶函数，是区间
(0,+¥)上的增函数，正确；
选项 C，
3
x
-3-x
选项 D， y =
是奇函数，是区间
(0,+¥)上的增函数，错误；
2
故选：C
r
r r
r
r
r
a = 3,4 b = (1,0)
( )，
a,c = b,c 则实数t =
6
. 已知向量
， c a tb ，若
= +
（
）
A. -6
B. -5
C. 5
D. 6
【
【
答案】C
解析】
分析】由向量坐标的运算求出向量 c 的坐标，再根据
r
r
r
a,c = b,c
【
，利用向量夹角余弦公式列方程，
t
求出实数 的值．
r
r
r
a = 3,4 b = (1,0)
( )，
c = a + tb = (3+ t,4)
，
【
又
详解】由
，则
r
r
r
cos ar,cr = cos b,c
r
a,c = b,c
，则
，即
，
r
r
r
r r
r
a ×c
r = r r
b ×c
a ×c b ×c
r
r = r
则
，
a c
×
×
a
b c
b
\9
+ 3t +16
=
3+ t
t = 5
，
解得
，
+
4
2
1
3
2
故选：C.
f x = cos x + a + sin x + b
. 函数 ( )
(
)
(
)，则（
7
）
π
A. 若 a + b = 0，则 ( )为奇函数
f x
B. 若
a + b =
，则
f (x)
为偶函数
为奇函数
2
π
C. 若b - a =
，则
( )
f x
为偶函数
D. 若
a - b = π
，则
( )
f x
2
【
【
答案】B
解析】
a,b
f (x)
f (x)
的解析式，对 AD 用特值说明 不是奇函数，对 BC 用奇
【
分析】根据选项中
的关系，代入
偶性的定义验证即可.
详解】 ( )的定义域为
，
f x
R
【
对 A：若 a + b = 0， f (x)= cos x + a + sin x - a
(
)
(
)，若
f (x)
f (0) = 0
为奇函数，则 ，而

(
) =
-
=
不恒成立，故 ( )不是奇函数；
f 0 cosa sin a 0
f x
π
æ
è
π
ö
ø
a + b =
f (x)= cos(x + a)+ sinç x + - a÷ = cos(x + a)+ cos(x - a)
对 B：若
，
，
2
2
(
-x) =
(- + )+
(- - ) =
( - )+ ( + ) =
，故 ( ) 为 偶函数，B 正确；
f (x) f x
f
cos x a cos x a cos x a cos x a
π
æ
è
π
ö
ø
f x = cos x + a + sinç x + + a÷ = 2 cos x + a)
( )
(
)
(
对 C：若b - a =
，
，
2
2
(
-x) =
(- + ) ¹
2 cos x a
，故 ( )不是偶函数，故 C 错误；
f (x) f x
f
对 D：若 a - b = π ， ( )
f x = cos x + b + π + sin x + b = -cos x + b + sin x + b
(
)
(
)
(
)
(
)，
若 ( )为奇函数，则
f (0) = 0
，而
f (0)= -cosb + sinb = 0
f (x)
不恒成立，故 不是奇函数；
f x
故选：B
ì
ï -x, x < 0
. 已知函数 f (x)= í
x £1有 f (x + 2m)+ f (x)> 0
m
恒成立，则实数 的取值
8
，若对任意的
ïî- x, x ³ 0
范围是（
）
A. (-¥,-1)
(-¥,-1]
(-¥,-2)
D.
(-¥,-2]
B.
C.
【
【
答案】A
解析】
分析】根据奇函数的定义证明 ( )为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得
f x
【
m
的取值范围.
详解】当 x < 0 时， -x > 0 ， ( )
f x = -x f (-x)= - -x = - f (x)
，
，
【
当 x > 0 时， -
x < 0， f (x)= - x ， f (-x)= -(-x) = - f (x)
，
当 x = 0 时， f (0) = 0
，
所以对任意的 xÎR ， f (-x)= - f (x)，
函数 ( )为奇函数，
f x
又当 x > 0 时， f (x)= - x
为单调递减函数，
所以函数 ( )在
(-¥,+¥)
上为单调递减函数，
f x
所以不等式 f (x + 2m + f x > 0
)
( )
可化为
f (x + 2m)> f (-x)
，

x + 2m < -x
x < -m
，
所以
由已知对任意的 x £1有
所以1< -m
，所以
x < -m
恒成立，
m < -1，
，即
的取值范围是(-¥,-1)
.
m
故
故选：A.
. 已知 a 、b 、 e 是平面向量， e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量b 满足
p
9
3
v
b
2
- 4e ×b + 3 = 0 ，则 a - b 的最小值是
A. 3 -1 B. 3 +1
C. 2
D. 2 - 3
【
【
答案】A
解析】
a
、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最
【
分析】先确定向量
小值.
【
详解】设 a = (x, y),e = (1, 0),b = (m,n)，
r r
r r r r
a×e = a × e cos , x =
π
π
1
2
a,e =
x
2
+ y2 ,\ y = ± 3x
则由
得
，
3
3
r
b
r r
2
+
-
+ = ( - )2
得 m2 n2 4m 3 0, m 2
+
n2 =1,
由
-
× + =
4e b 3 0
2
3
a -b 的最小值为圆心(2, 0)
= ± 3x 的距离
-
因此，
到直线 y
= 3 减去半径 1，为 3 1.选 A.
2
【
点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的
一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关
系，是解决这类问题的一般方法.
1
0. 已知函数 f (x) = x +1 + k ，若存在区间[
a,b]，使得函数 f (x) 在区间[a,b]上的值域为[a +1,b +1]
则实数 k 的取值范围为（
）
æ
è
1
ö
ø
æ
1
ù
û
(-1,+¥)
(-1, 0]
ç- ,+¥÷
ç- ,0
D.
ú
A.
B.
C.
4
è 4
【
【
答案】D
解析】
ì
ìï + -
a 1 a +1 - k =
0
0
【
分析】根据函数的单调性可知， í ( )
，即得 í
，故可知 a +1, b +1是
î f b = b +1
ï
ïîb +1- b +1 - k =

方程 x2 - x - k = 0 的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
ì
【
详解】根据函数的单调性可知， í ( )
，
î f b = b +1
ï
ì
ïa +1- a +1 - k = 0
即可得到 í
，
ï
ì
D =1+ 4k > 0
ï
所以 í
，
ï
1
4
-
< k £ 0
解得
．
故选：D．
【
点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
æ π
sinç +a ÷ =
__________.
ö
ø
æ
è
1
ö
ø
1
1. 已知角 α 的终边与单位圆交于点 Pç , y÷ ，则
2
è 2
1
【
答案】 ##0.5
2
【
【
解析】
分析】由三角函数定义得到
1
cosa =
，再由诱导公式求出答案.
2
1
2
æ π
è 2
ö
ø
1
2
cosa =
sinç +a ÷ = cosa =
【
详解】由三角函数定义得
，由诱导公式得
.
1
故答案为：
2
{a }
S = 2a +1
，则
S =
6
S
n
的前 项和，若
1
2. 记 为数列
_____________．
n
n
n
n
【
【
答案】 -63
解析】
S = 2a +1
S
= 2an+1 +1，两式相减，整理得到 an+1 = 2a
n+1 n
【
分析】首先根据题中所给的
，类比着写出
，
n
n
从而确定出数列{ }为等比数列，再令
n =1，结合 a1,S
a = -1
的关系，求得 ，之后应用等比数列的求和
a
n
1
1

S
公式求得 的值.
6
S = 2a +1
，可得
n+1
S
= 2an+1 +1，
【
详解】根据
n
n
a
n+1
= 2an+1 - 2a
a
n+1
= 2a
n
两式相减得
，即
，
n
n =1时， S = a = 2a +1
，解得
a = -1
1
，
当
1
1
1
所以数列{ }是以-1 为首项，以 2 为公比的等比数列，
a
n
-
(1- 26 )
所以 S6 =
= -63 ，故答案是 -63.
1-
2
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个
式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令
n =1，求得数列
的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
xÎR,ax2 + 2x + a ³ 0
为假命题的 a 的取值范围是______
1
3. 若命题“对任意
【
【
答案】 a <1
解析】
【
分析】写出全称量词命题的否定，
$xÎR,ax2 + 2x + a < 0
a = 0 a < 0 a > 0
为真命题，分 ， 和 三种情
况，得到不等式，求出答案.
【
详解】由题意得
$
xÎR,ax2 + 2x + a < 0
为真命题，
x < 0
，有解，满足要求，
当 a = 0 时，不等式为
2
a ¹ 0
a < 0
ax2 + 2x + a < 0
，此时
当
若
时，若
必有解，满足要求，
a > 0
D = 4 - 4a2 > 0
，解得
0 < a <1，
，则
综上，a 的取值范围为 a <1.
故答案为： a <1
f x = Acos x -sin x A > 0
(
)的最大值为 2 ，则
A =
f (x)
的一个对称中心为
1
_
4. 若函数 ( )
________，
______
æ
è
π
ö
ø
,0÷
【
答案】
①.
3
②.
ç
（答案不唯一）
3
【
【
解析】
分析】根据辅助角公式对函数 ( )进行化简，再根据最大值求出 A，最后利用余弦型函数求出对称中
f x

心.
【详解】由
1
(
（
f x）= Acos x -sin x = A2 +1 cos x +j)，其中 tanj =
，
A
又函数 ( )的最大值为 2 ，则 A2 1 2，
f x
+ =
3
π
又 A > 0 ，则 A = 3 ， tanj =
，不妨取j =
，
3
6
æ
è
π ö
6 ø
f x = 2cosç x + ÷
故 ( )
，
π
π
π
则 ( )的对称中心满足
+ kπ ， k ÎZ
f x
x +
=
x = + kπ k ÎZ
，解得 ， ，
6
2
3
æ
π
ö
ø
即 ( )的对称中心为è
ç + kπ,0÷ k ÎZ
，
，
f x
3
æ
è
π
ö
ø
则 ( )的一个对称中心可为：
，
f x
ç ,0÷
3
æ
è
π
ö
ø
,0÷
故答案为： 3 ，
ç
（答案不唯一）
3
y = f (x)，若在其定义域内存在 ，使得
x
x f (x ) =1
f (x)
成立，则称函数 具有性质 P .
1
5. 对于函数
0
0
0
（
1）下列函数中具有性质 P 的有___________.
(
)= -2x + 2 2
f x
①
(
) =
( Î[0,2π])
f x sin x x
②
③
④
1
(
) = x +
f x
，（푥 ∈ (0, + ∞)）
x
f x = ln x +1)
( )
(
2）若函数 f (x)= aln x
a
（
具有性质 P ，则实数 的取值范围是___________.
【
【
答案】
解析】
①. ①②④
②.
a＞0 或 a £ -e
．
1
1
1
-2x+2 2 =
D =
x+
0
，可判断；由 sinx= 有解，可判断是否具有性质 P；令
【
分析】（1）令
，由
x
x
x
1
1
y = ln x +1 , y =
(
)
=
，此方程无解，由此可判断；由
两图象在(-1，+ ¥)
有交点可判断；
x
x
1
g x xln x
，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单
（
2）问题转化为方程 xln x = 有根，令
( ) =
a
a
调性及最值，由此可求得实数 的取值范围．

1
x ¹ 0
f (x) =
【
详解】解：（1）在
时，
有解，即函数具有性质 P，
x
1
-
2x+2 2 =
令
∵
，即 2x2 2 2x -1= 0，
-
+
x
D
= 8-8 = 0
f (x)= -2x + 2 2
，故方程有一个非 0 实根，故
具有性质 P；
1
(
) =
( Î
p )的图象与
有交点，
f x sin x x [0，2 ]
y
=
x
1
故 sinx= 有解，故 ( )
f x = sin x xÎ[0，2p ]
(
)具有性质 P；
x
1
1
1
x+
f (x) = x +
令
=
，此方程无解，故
，（푥 ∈ (0, + ∞)）不具有性质 P；
x
x
x
1
1
1
令 ln(x +1 =
)
，则由
y = ln(x +1), y =
两图象在(-1，+ ¥)
ln(x +1) =
有交点，所以
有根，所以
x
x
x
(
)= ( + )具有性质 P；
f x ln x 1
综上所述，具有性质 P 的函数有：①②④；
1
2） f (x)= aln x
xln x =
，方程
a ¹ 0
（
具有性质 P，显然
有根，
a
1
令 g (x)= xln x
g
'
(x)= ln x+1，令
g
'
(x)= ln x+1= 0
x =
，则
，解得
，
e
1
( ) æ 1 ö
1
当
时，
(x)< 0，所以 g x
在
ç-1，÷
上单调递减，当
时，
'
( )
x >0
，所以
( )
g x
在
-1< x <
g
'
x>
g
e
è
e ø
e
æ
1
ö
，
+¥÷上单调递增，
ç
è
e
ø
æ
è
1 ö 1
1
1
g x ³ g ç ÷ = ln = -
所以 ( )
，
e ø
e
e
e
1
1
1
所以 g (x)= xln x
-
³ -
的值域[
，+∞），∴
，
e
a
e
解之可得：
a＞0 或 a £ -e
．
故答案为：①②④；
a＞0 或 a £ -e
．
【
点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程
的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
1
6. 在VABC 中，sin A = 2 sin B ，b = 2 ．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作
为已知，使VABC 存在且唯一确定，并解决下面的问题：
1）求角 B 的大小；
（

（
2）求VABC 的面积．
条件①： c = 4；条件②：b2 - a2 = c2 - 2ac ；条件③：
acos B = bsin A．
p
B =
【
答案】（1）选②或③，
；
4
（
【
【
2）VABC 的面积为1.
解析】
分析】（1）选①，利用三边关系可判断VABC 不存在；
选②：利用余弦定理可求得角 B 的值；
选③：利用正弦定理可求得 tan B 的值，结合角 B 的取值范围可求得角 B 的值；
c
VABC
（
【
2）利用余弦定理可求得 的值，再利用三角形的面积公式可求得
的面积．
小问 1 详解】
解：因为sin A = 2 sin B ，b = 2 ，则 a = 2b = 2 .
a + b < c ，则VABC
选①：因为 c = 4，则
不存在；
选②：因为b2 - a2 = c2 - 2ac ，则 a2 + c2 -b2 = 2ac ，
p
a
2
+ c2 -b2
2
由余弦定理可得 cos B =
=
，Q
BÎ 0,p
(
)
B =
，则
；
4
2
ac
2
选③：Qacos B = bsin A ，则sin Acos B = sin Asin B
，
p
BÎ 0,p )，则sin A > 0，sin B = cos B > 0
(
Q
A、
，故
tan B =1，从而 B =
.
4
【
小问 2 详解】
p
B =
a = 2
2 ，由余弦定理可得b2 = a2 + c2 - 2accos B
解：因为
，
，b
=
，
4
1
1
2
即 c2 - 2 2c + 2 = 0，解得 c = 2 ，因此， S△ABC = acsin B = ´2´ 2 ´
=1.
2
2
2
S
{ }
n
S = a = 20
，数列{푏 }是公比大于 1 的等比数列，且
b
2
3
= b
1
7. 已知 是等差数列 푎 的前 项和，
，
n
푛
5
11
푛
6
b -b =12
.
4
2
（
1）求数列{
푎 } {푏 }
和
的通项公式；
푛
푛
Sn
bn
c =
n
c
n
（
2）设
，求使 取得最大值时 的值.
n
a = 2n - 2 b = 2n
【
（
答案】（1）
，
n
n
2） 或
3
4

【
【
解析】
n
{푎 }
的通项公式，再求
푛
分析】（1）根据等差数列的通项及前 项和公式求出首项与公差，即可求出数列
出数列{푏 }
的首项与公比，即可得
{푏 }
푛
的通项公式；
푛
2）先求出{ }的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.
c
（
【
n
小问 1 详解】
设等差数列{푎 }
的公差为
d
，
푛
ì
5´4
ï
S = 5a +
d = 20
5
1
a = 0,d = 2
，解得
í
2
则
，
1
ï
a = a +10d = 20
î
11
1
a = 2n - 2
n
所以
，
q(q >1)
设等比数列{푏 }
的公比为
，
푛
ì
í
( )2
b q2 = b1q5
ìb
=
2
ï
1
í
1
则
，解得
，
q = 2
ïîb q3 -b1q =12
î
1
b = 2n
n
所以
；
【
小问 2 详解】
(2 - )
n 2 n
由（1）得 Sn =
= n(n -1)，
2
(
- )
Sn n n 1
bn
c =
n
=
则
，
2n
(
+ )
( - )
n n 1 n n 1 3n - n2
cn+1 - cn =
-
=
，
2n+1
2n
2n+1
n =1,2
c
n+1
- c > 0,c < c < c
当
时，
，
n
1
2
3
当 n = 3时，
n ³ 4
c
- c = 0,c = c
4
，
n+1
n
3
c
- c 0,c c >L > c
n
当
时，
，
n+1
n
4
5
所以当 n = 3或 4 时， 取得最大值.
c
n
π
3
2
f (x) = 6 cos xsin(x - ) +
1
8. 已知函数
．
6
f (x)
的最小正周期和单调增区间；
（
1）求

π 5π
,
]
（
【
2）若函数
y = f (x) - a 在 xÎ[
存在零点，求实数 a 的取值范围．
1
2 12
é
π
π
ù
û
ê- + kπ, + kπú(k ÎZ)
π
答案】（1）
，
ë
6
3
（2）[0,3
]
【
【
解析】
æ
è
π ö
6