运筹学单纯形法的灵敏度分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.2 单纯形法的灵敏度分析,目标函数系数Cj的改变对原问题的影响,约束条件右侧常数bi改变对原问题的影响,约束条件系数矩阵A发生变动对原问题的影响,1,例：,某工厂计划生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品的单位利润分别为2元、3元、1元，生产单位产品所需要的劳动力和材料如下表所列，现工厂计划部门列出线性规划的模型，以确定最优的生产方案。,甲,乙,丙,可使用资源,劳动力,材料,1/3,1/3,1/3,4/3,1/3,7/3,1,3,利润,2,3,1,2,设计划生产三种产品产量分别为x,1,，x,2,，x,3,引入松弛变量x,4,，x,5,，得如下单纯形表,3,解到第三段得到最优解：,x,1,=1（甲产品生产1单位），x,2,=2（乙产品生产2单位），x,3,=0（丙产品不生产），,maxZ=8（最大利润达到8元）,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0,x,4,0,x,5,Qi,1,0,0,x,4,x,5,1,3,1/3,1/3,1/3,（4/3）,1/3,7/3,1,0,0,1,3,9/4,Cj-Zj,2,3,1,0,0,2,0,3,x,4,x,2,1/4,9/4,（1/4）,1/4,0,1,-1/4,7/4,1,0,-1/4,3/4,1,9,Cj-Zj,5/4,0,-17/4,0,-9/4,3,2,3,x,1,x,2,1,2,1,0,0,1,-1,2,4,-1,-1,1,Cj-Zj,-8,0,0,-3,-5,-1,4,一、目标函数系数Cj的改变对原问题的影响,讨论：上例中甲、乙、丙三种产品单位利润发生变化时对原问题的影响。,思考：数学模型中，c,j,变化将影响数学模型中哪些因素？,如：丙产品单位利润的变化将影响到模型中哪些因素？,c,3,=1 c,3,=2 或 c,3,=1 c,3,=6,再如：甲、乙产品单位利润发生变化时，将影响到哪些因素？,c,1,=2 c,1,=4 或c,2,=3 c,2,=2,5,结论,在单纯形法中，c,j,的变化c,j,-z,j,变化基变量的调出、入。,分两种情况：,非基变量的c,j,发生变化只影响其本身对应的检验数c,j,-z,j,；,如上例中x,3,为非基变量，则丙产品单位利润发生变化只影响本身的检验数。,基变量的c,j,发生变化，由于影响到c,B,，从而所有非基变量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。,如上例中x,1,、x,2,为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影响除甲、乙外其他变量的检验数。,6,（一）非基变量目标函数系数的改变,上例中，x,1,、x,2,为基变量，x,3,为非基变量，它的最优解为x,3,=0，既不安排生产。为什么不生产丙产品呢？因为x,3,所对应的检验数C,j,-Z,j,不是绝对值最大者，无法调入成为基变量。,如果要生产丙产品，意味着x,3,0，则必须将x,3,调入成为基变量，考察单纯形表最后一段，此时检验数C,j,-Z,j,均为非正，如果此时改变c,3,，则C,3,-Z,3,会发生变化，当它变成,0时，就可以调入。,所以，分析c,3,-z,3,的变动：,7,C,3,变动范围,当C,3,-Z,3,0即C,3,4时，调入成为基变量，则x,3,0。,也就是说，此时当改变丙产品的单位利润c,3,到大于4元时，它的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。,8,所以，丙产品单位利润的变动范围是c,3,0，意味着生产甲产品。,再进一步分析，如果C,1,降到某一程度之后，即利润非常小，从实际意义上讲，是不应该安排甲产品生产的。另一方面，当甲产品利润增加到很高一个水平时，就可以考虑只生产甲产品而不生产其他产品，那么究竟甲产品利润必须变动到什么程度才可能发生以上变化呢？,12,（二）基变量目标函数系数的改变,x,1,是基变量，基变量的检验数C,1,-Z,1,=0，而C,1,变化会影响到非基变量的检验数。,我们可以分析所有非基变量的检验数,13,C,1,的变动范围,C,1,的变动范围为3/4，3,也就是说，当甲产品利润在3/4到3之间变动时，它不会影响到基变量，即仍安排生产甲产品和乙产品，不生产丙产品，只是随着C,1,的变化，最优解即甲、乙产品的产量不会改变，而总利润会发生变动，如当C,1,=1时，最优解为x,1,=1，x,2,=2，而最优值Z=7，若C,1,变动超过以上界限，则需重新计算。,14,（三）基变量和非基变量的目标函数系数同时发生变化时,思路：参考以上两种情况，在单纯形表最后一段中，用变化后的新Cj代入计算检验数Cj-Zj，若满足符号条件，则最优解不变，最优值变动；若不满足符号条件，则用变化后的Cj代入最后一段，继续进行迭代计算。,15,如上例，当Cj变为：C,2,=4，C,3,=4,代入最后一段，得,Cj-Zj,0，均满足符号条件,最优解不变，x,1,=1，x,2,=2 最优值Z=10,段,Cj,基,0,b,2,x,1,4,x,2,4,x,3,0,x,4,0,x,5,Qi,1,2,4,x,1,x,2,1,2,1,0,0,1,-1,2,4,-1,-1,1,Cj-Zj,-10,0,0,-2,-4,-2,16,当Cj变为C,2,=4，C,3,=8,代入最后一段，得,Cj-Zj,0，均满足符号条件,经过两段计算，得到最优解，x,1,=2，x,2,=1 最优值Z=12,段,Cj,基,0,b,2,x,1,4,x,2,8,x,3,0,x,4,0,x,5,Qi,1,2,4,x,1,x,2,1,2,1,0,0,1,-1,（2）,4,-1,-1,1,Cj-Zj,-10,0,0,2,-4,-2,2,2,8,x,1,x,3,2,1,1,0,1/2,1/2,0,1,7/2,-1/2,-1/2,1/2,Cj-Zj,-12,0,-1,0,-3,-3,17,二、约束条件右侧常数bi改变对原问题的影响,讨论：例中资源最高限制量改变时将影响数学模型中的哪些因素？,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0,x,4,0,x,5,Qi,1,0,0,x,4,x,5,1,3,1/3,1/3,1/3,（4/3）,1/3,7/3,1,0,0,1,3,9/4,Cj-Zj,0,2,3,1,0,0,2,0,3,x,4,x,2,1/4,9/4,（1/4）,1/4,0,1,-1/4,7/4,1,0,-1/4,3/4,1,9,Cj-Zj,-27/4,5/4,0,-17/4,0,-9/4,3,2,3,x,1,x,2,1,2,1,0,0,1,-1,2,4,-1,-1,1,Cj-Zj,-8,0,0,-3,-5,-1,18,Bi变化影响哪些因素？,当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数，只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优解的具体数值，如上例中，假设b,1,发生变化，劳动力使用从一个劳动力增加到2个劳动力，即b,1,=2，则,b变化不影响检验数,单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x,1,，x,2,，改变的是x,1,，x,2,的数值,用公式表示如下：,19,20,分析,从以上计算结果表明，增加一个单位b,1,（劳动力数量）会使总利润增加，但在实际经济工作中，b,1,增加不可能是无限的，因为劳动力增加太多，而其他条件不变时，势必造成劳动力过剩，影响生产率，进而影响利润率，即Cj会变化，因此，b,1,的变化也是有范围的。,从数学模型上思考：b取值的制约条件？,21,bi变动的制约条件,当我们用单纯形法解线性规划问题时，要求b0,b的变化必须首先满足这个条件,用公式表示如下：,22,设基变量不变（意味着生产产品结构不变），即B=(P,1,P,2,)保持不变，则,b,1,变动的范围是3/4，3,也就是说，b,1,在3/43之间变动时，基变量结构不变（仍是生产甲、乙两种产品，不生产丙产品），但变量值发生变动（产量变化），最优值也会变动（总利润变化），即,23,24,分析,例中第二个资源材料的最高限制变化时对原问题的影响。,即讨论：b,2,变动的范围。,25,B,2,变动的范围,B,2,的变动范围是1 4,26,影子价格的概念,“影子价格”是经济领域的概念。,“影子价格”是指当其他原料数量都保持不变时，第k种原料由b,k,增加一个单位时，由此而产生的目标函数值的增加，它对应于单纯形表最后一段松弛变量所对应的检验数（取正值）。,27,如例中，b,1,表示劳动力资源,当b,1,变动时,28,从以上计算结果表明,b,1,的影子价格即松弛变量x,4,的检验数的相反数,Z,4,-C,4,=5，说明每增加一个单位的劳动力会使得目标函数值Z增加5个单位。,29,b,2,表示材料资源,当b,2,变动时,30,计算结果表明,b,2,的影子价格即松弛变量x,5,的检验数的相反数,Z,5,-C,5,=1，说明每增加一个单位的材料会使得目标函数值Z增加1个单位。,31,影子价格的经济意义,当影子价格Zj-Cj=0时，表明当各种产品的数量按照最优决策，分别生产数量x,1,，x,2,，x,n,并达到最大收益时，第j种原料尚有剩余，如果单独增加第j种原料的数量不会使总收益增加，故影子价格Zj-Cj=0。,当影子价格Zj-Cj0时，表明第j种原料已经在达到最大收益时全部耗尽，生产组织者如果要扩大生产增加收益，必须增加第j种原料的购买量，如果市场上该种原料的市场价格小于或等于Zj-Cj时，则用增加第j种原料来增加收益是合算的；反之，若市场价格大于影子价格时，那么用增加第j种原料来增加收益的办法是不利的.,所以影子价格能为企业或部门提供今后“活动”的一种经济信息。,32,三、约束条件系数矩阵A发生变动对原问题的影响,增加新的产品生产，使A矩阵多一列a,j,现行的产品生产资源消耗量发生改变，,即a,ij,变化时,增加新的约束条件，即增加新的一行a,i,33,（一）增加新的产品生产，使A矩阵多一列a,j,设该厂研究出新的产品丁，每生产一单位产品丁，需要一个劳动力和一单位原料，单位利润为3单位，丁产品销路良好，现在想知道，在原有资源不变的情况下，安排丁生产是否有利。,结合数学模型分析：,34,分析,要判断是否安排丁生产，就看丁所对应的检验数Cj-Zj是否满足符号条件，若满足符号条件，说明原问题最优解不变，丁变量不会成为基变量，解仍为零，即不应安排丁产品的生产；相反的，若Cj-Zj不满足符号条件，则丁变量就有可能被调入成为基变量，即应考虑生产丁。,如例中，原问题变为：（多一个变量x,6,）,35,多一个变量x,6,，使A矩阵多了一列,若加入最后一段计算，,不能直接用p,6,，,而应将p6线性变化后带入,36,根据单纯形表最后一段有关数据，得,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0,x,4,0,x,5,Qi,3,2,3,x,1,x,2,1,2,1,0,0,1,-1,2,4,-1,-1,1,Cj-Zj,-8,0,0,-3,-5,-1,37,分析检验数符号,C,6,-Z,6,满足符号条件,原问题最优解不变，仍是x,1,=1，x,2,=2，x,3,=x,6,=0,即不安排丁产品生产。,注意区别 和的 不同,38,若将以上丁产品利润改为C,6,=7，其他条件不变，情况会有什么变化？,39,分析检验数符号,C,6,-Z,6,不满足符号条件,原问题最优解将变动，将C,6,代入单纯形表最后一段重新计算。,注意：,40,对p,6,进行线性变化,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0,x,4,0,x,5,7,x,6,1,2,3,x,1,x,2,1,2,1,0,0,1,-1,2,4,-1,-1,1,(3),0,Cj-Zj,-8,0,0,-3,-5,-1,1,2,7,3,x,6,x,3,1/3,2,1/3,0,0,1,-1/3,2,4/3,-1,-1/3,1,1,0,Cj-Zj,-25/3,-1/3,0,-8/3,-19/3,-2/3,0,41,此时得到最优解，x,1,=0，x,2,=2，x,3,=x,4,=x,5,=0 x,6,=1/3，最优值Z=25/3。,说明由于丁产品利润的增加，应考虑生产丁产品。,42,（二）现行的产品生产资源消耗量发生改变，即a,ij,变化时,1、当非基变量的a,ij,变化时，,如上例，丙产品的技术条件发生变化，单位丙产品所需的劳动力数量不变：a,13,=1/3，所需的材料数量减少为a,23,=5/3,即：,43,分析方法,非基变量的a,ij,的变化只影响本列的数值，只影响本列的检验数。,所以与增添新产品的情况相同，只要重新计算发生变化的a,ij,对应的Cj-Zj，根据Cj-Zj的符号判断最优解有否改变。,如例中，丙产品的技术条件发生变化，单位丙产品所需的劳动力数量不变：a,13,=1/3，所需的材料数量减少为a,23,=5/3,44,计算检验数,C,3,-Z,3,满足符号条件,原问题最优解不变，最优值也不变。,45,2、当基变量对应的a,ij,变化时,当基变量对应的a,ij,变化时,，由于此时基矩阵C,B,受到影响，进而影响所有检验数，,即：,所以，应对规划问题重新计算。,46,如上例，甲产品、乙产品的技术条件发生变化时，即a,11,、a,21,、a,12,、a,22,变化时将影响到,则应重新计算。,47,（三）增加新的约束条件，即增加新的一行a,i,如上例，若增加一个约束条件,分析：最优解是否要改变？,48,对比数学模型,49,分析,将最优解带入新加入的约束条件中，看看是否满足,若满足新的约束条件，最优解不变；,若不满足新的约束条件，则应加入新的约束条件于单纯形表最后一段，,标准化后,，继续进行迭代计算直至求出最优解或判断无解。,50,将最优解x,1,=1，x,2,=2代入上式，得,左边=1+2*2+0=5，右边=4,显然不满足约束条件，则应重新计算最优解。,51,分析,加入松弛变量x,6,，得,将标准化后的式子代入单纯形表最后一段,52,分析,思考：以上单纯形表可否直接计算？,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0,x,4,0,x,5,0,x6,Qi,3,2,3,0,x,1,x,2,x,6,1,2,4,1,0,1,0,1,2,-1,2,1,4,-1,0,-1,1,0,0,0,1,Cj-Zj,-8,0,0,-3,-5,-1,53,应进行线性变换,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0x,4,0,x,5,0,x,6,Qi,3,2,3,0,x,1,x,2,x,6,1,2,1,0,0,0,1,0,-1,2,4,-1,-1,1,0,0,1,Cj-Zj,54,代入新的约束条件，得,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0,x,4,0,x,5,Qi,3,2,3,x,1,x,2,1,2,1,0,0,1,-1,2,4,-1,-1,1,Zj-Cj,8,0,0,3,5,1,55,56,加入人工变量x,7,57,代入单纯形法最后一段，得,段,Cj,基,0,b,2,x,1,3,x,2,1,x,3,0,x,4,0,x,5,7,x,6,-M,x,7,1,2,3,-M,x,1,x2,x,7,1,2,1,1,0,0,0,1,0,-1,2,（2）,4,-1,2,-1,1,1,0,0,-1,0,0,1,Cj-Zj,-,0,0,2M-3,2M-5,M-1,-M,0,2,2,3,1,x,1,x,2,x,3,3/2,1,1/2,1,0,0,0,1,0,0,0,1,5,-3,1,-1/2,0,（1/2）,-1/2,1,-1/2,1/2,-1,1/2,Cj-Zj,0,0,0,-2,1/2,-3/2,-,3,2,3,0,x,1,x,2,x,5,2,1,1,1,0,0,0,1,0,1,0,2,6,-3,2,0,0,1,-1,1,-1,1,-1,1,Cj-Zj,-7,0,0,-1,-3,0,-1,-,58,所有检验数均满足符号条件,得到新的最优解，x,1,=2，x,2,=1，x,3,=x,4,=x,6,=0 x,5,=1，最优值Z=7。,以上说明了各种条件发生变化后，重新在求得最优解的方法，这种优化后的分析，所得到的信息，较之最优值本身具有更多价值，在实际工作中更有意义。,59,练习题,60,