大学数学不定积分.pptx

第不定积分不定积分的概念与基本积分公式不定积分的概念与基本积分公式换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法几类特殊函数的不定积分几类特殊函数的不定积分7.1不定积分的概念和基本积分公式原函数和不定积分基本积分公式表不定积分的线性运算法则求导（微分）运算求导（微分）运算不定积分运算不定积分运算一、不定积分的定义一、不定积分的定义求？求？定义定义:已知一个函数求这个函数的导数已知一个函数的导数求这个函数首先介绍原函数的概念一、原函数与不定积分的概念例如：例如：理解定义：理解定义：(1)一个函数的原函数不是唯一的一个函数的原函数不是唯一的.因为因为即：一个函数存在原函数即：一个函数存在原函数,其原函数必有无限多个其原函数必有无限多个.(2)f(x)的原函数的一般形式是的原函数的一般形式是 F(x)+C.因若因若(3)几何意义：几何意义：oxxyF(x)+C曲线曲线 F(x)上上 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。函数函数f(x)的积分曲线也有无限多条。的积分曲线也有无限多条。函数函数f(x)的不定积分表示的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，的一簇积分曲线，而而f(x)正是积分曲线的斜率。正是积分曲线的斜率。原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？原函数的结构定理若若F(x)是函数是函数f(x)在区间在区间的一个原函数，的一个原函数，则函数则函数f(x)的无限多个函数仅限于的无限多个函数仅限于F(x)+C的的形式形式.一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。如果欲求函数如果欲求函数f(x)的所有的原函数，只需求出函数的所有的原函数，只需求出函数f(x)的一个的一个原函数原函数F(x)，然后再加上任意常数，然后再加上任意常数C，就得到函数的所有的，就得到函数的所有的原函数原函数F(x)+C。关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（为任意常数）为任意常数）证证（为任意常数）为任意常数）一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数。积积分分常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量 定义定义 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，根据定义，如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则注注1.一个函数的不定积分既不是一个数一个函数的不定积分既不是一个数,也不是一个函数也不是一个函数,而是一个而是一个函数族函数族.例如：例如：注注2.f(x)的的所有的原函数所有的原函数 F(x)+C 称为称为 f(x)的不定积分的不定积分.(用集合形式表示这个函数族用集合形式表示这个函数族)二、不定积分的基本公式二、不定积分的基本公式由不定积分定义由不定积分定义 不定积分和微分运算是互逆的运算，由不定积分和微分运算是互逆的运算，由由此得基本积分公式表由此得基本积分公式表.P.327(熟记熟记)这些基本公式和导数基本公式相对应实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是既然积分运算和微分运算是互逆互逆的，因的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.基基本本积积分分表表证明：证明：(注意)三、不定积分的运算法则（三、不定积分的运算法则（性质性质）由微分运算易得：由微分运算易得：注：注：法则法则1可推广到可推广到 n个（有限）函数的代数和的情形个（有限）函数的代数和的情形.基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：互逆关系互逆关系四四.小结小结