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2023年黑龙江省龙东地区中考数学真题(解析版).docx

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黑龙江省龙东地区2023年初中毕业学业统一考试 数学试题 考生注意: 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题,总分120分 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据积的乘方,完全平方公式,平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可. 【详解】解:A.,原式计算错误; B. ,原式计算错误; C. ,计算正确; D. ,原式计算错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了积的乘方,完全平方公式,平方差公式和幂的乘方,熟练掌握运算法则,牢记乘法公式是解题的关键. 2. 下列新能源汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;把一个图形绕着某一个点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心. 【详解】解:A、既是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意; D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; 故选A. 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别,熟知二者的定义是解题的关键. 3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成,它的俯视图和左视图如图所示,那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】在“俯视打地基”的前提下,结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方(第2层)至少还有1个正方体,据此可得答案. 【详解】解:由俯视图与左视图知,该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示: 所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5, 故选:B. 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体,解题的关键是掌握口诀“俯视打地基,主视疯狂盖,左视拆违章”. 4. 已知一组数据的平均数是1,则这组数据的众数是( ) A. B. 5 C. 和5 D. 1和3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义列出关于的方程,求出的值,从而还原这组数据,再利用众数的概念求解即可. 【详解】解:∵数据的平均数是1, ∴, 解得, 则, ∴这组数据的众数是和5, 故选:C. 【点睛】此题主要考查了众数和平均数,解题关键是掌握众数和平均数的概念. 5. 如图,在长为,宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是,则小路的宽是( ) A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路宽为,则种植花草部分的面积等于长为,宽为的矩形的面积,根据花草的种植面积为,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论. 【详解】解:设小路宽为,则种植花草部分的面积等于长为,宽为的矩形的面积, 依题意得: 解得:,(不合题意,舍去), ∴小路宽为. 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 6. 已知关于x的分式方程的解是非负数,则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】解分式方程求出,然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组,求解即可. 【详解】解:分式方程去分母得:, 解得:, ∵分式方程的解是非负数, ∴,且, ∴且, 故选:C. 【点睛】本题考查了解分式方程,解一元一次不等式组,正确得出关于m的不等式组是解题的关键. 7. 某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活,计划出资500元全部用于采购A,B,C三种图书,A种每本30元,B种每本25元,C种每本20元,其中A种图书至少买5本,最多买6本(三种图书都要买),此次采购的方案有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】设采购A种图书x本,B种图书y本,C种图书z本,根据采购三种图书需500元列出方程,再依据x的数量分两种情况讨论求解即可. 【详解】解:设采购A种图书x本,B种图书y本,C种图书z本,其中且均为整数,根据题意得, , 整理得,, ①当时,, ∴ ∵且均为整数, ∴当时,,∴; 当时,,∴; 当时,,∴; ②当时,, ∴ ∵且均为整数, ∴当时,,∴; 当时,,∴; 当时,,∴; 综上,此次共有6种采购方案, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用,正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键. 8. 如图,是等腰三角形,过原点,底边轴,双曲线过两点,过点作轴交双曲线于点,若,则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,根据反比例函数的中心对称性可得,然后过点A作于E,求出,点D的横坐标为,再根据列式求出,进而可得点D的纵坐标,将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值. 【详解】解:由题意,设, ∵过原点, ∴, 过点A作于E, ∵是等腰三角形, ∴, ∴,点D的横坐标为, ∵底边轴,轴, ∴, ∴, ∴点D的纵坐标为, ∴, ∴, 解得:, 故选:C. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质,中心对称的性质,等腰三角形的性质等知识,设出点B坐标,正确表示出点D的坐标是解题的关键. 9. 如图,在平面直角坐标中,矩形的边,将矩形沿直线折叠到如图所示的位置,线段恰好经过点,点落在轴的点位置,点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明,求出,连结,设与交于点F,然后求出,可得,再用含的式子表示出,最后在中,利用勾股定理构建方程求出即可解决问题. 【详解】解:∵矩形的边,, ∴,,, 由题意知, ∴, 又∵, ∴, ∴, 由折叠知,, ∴, ∴,即, 连接,设与交于点F, ∴, ∵, ∴四边形是矩形, ∴,,, ∴, 由折叠知,, ∴, ∵在中,, ∴, 解得:, ∴点的坐标是, 故选:D. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,折叠的性质以及勾股定理的应用等知识,通过证明三角形相似,利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键. 10. 如图,在正方形中,点分别是上的动点,且,垂足为,将沿翻折,得到交于点,对角线交于点,连接,下列结论正确的是:①;②;③若,则四边形是菱形;④当点运动到的中点,;⑤.( ) A. ①②③④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的性质和翻折的性质,逐一判断,即可解答. 【详解】解:四边形是正方形, ,, , , , , , ,故①正确, 将沿翻折,得到, , ∵, ,故②正确, 当时,, , ,即在同一直线上, , , 通过翻折的性质可得,, ∴,, , 四边形是平行四边形, , 平行四边形是菱形,故③正确, 当点运动到的中点,如图, 设正方形的边长为,则, 在中,, , , , , , , , ,, ,, , 在中,,故④错误, , , ,, , 根据翻折的性质可得, , , ,故⑤正确; 综上分析可知,正确的是①②③⑤. 故选:B. 【点睛】本题考查了正方形的性质,翻折的性质,相似三角形的判定和性质,正切的概念,熟练按照要求做出图形,利用寻找相似三角形是解题的关键. 二、填空题(每小题3分,共30分) 11. 据交通运输部信息显示:2023年“五一”假期第一天,全国营运性客运量约5699万人次,将5699万用科学记数法表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时,n是正数;当原数的绝对值时,n是负数. 【详解】5699万, 故答案为:. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 12. 函数y=中,自变量x的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【详解】解:由题意得,, 解得. 13. 如图,在矩形中对角线,交于点,请添加一个条件______________,使矩形是正方形(填一个即可) 【答案】或 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理可知:邻边相等的矩形是正方形,对角线互相垂直的矩形是正方形. 【详解】∵邻边相等的矩形是正方形, ∴可添加条件 或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形 ∴还可以添加条件 【点睛】本题考查正方形的判定,找出正方形与矩形的性质差异,即为可添加的条件. 14. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球,这些小球除标号外完全相同,随机摸出两个小球,恰好是一红一白的概率是__________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白 的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【详解】解:列表得: 红1 红2 红3 白1 白2 红1 (红1,红2) (红1,红3) (红1,白1) (红1,白2) 红2 (红2,红1) (红2,红3) (红2,白1) (红2,白2) 红3 (红3,红1) (红3,红2) (红3,白1) (红3,白2) 白1 (白1,红1) (白1,红2) (白1,红3) (白1,白2) 白2 (白2,红1) (白2,红2) (白2,红3) (白2,白1) 由列表可知:共有20种等可能的结果,其中随机摸出两个小球,恰好是一红一白的情况有12种, ∴恰好是一红一白的概率是, 故答案为:. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 15. 关于的不等式组有3个整数解,则实数的取值范围是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】解不等式组,根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组,进而可求得的取值范围. 【详解】解:解不等式组得:, ∵关于的不等式组有3个整数解, ∴这3个整数解为,,, ∴, 解得:, 故答案为:. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,一元一次不等式组的整数解,正确得出关于m的不等式组是解题的关键. 16. 如图,是的直径,切于点A,交于点,连接,若,则__________. 【答案】34 【解析】 【分析】首先根据等边对等角得到,然后利用外角的性质得到,利用切线的性质得到,最后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解:∵,, ∴, ∴, ∵切于点A, ∴, ∴. 故答案为:34. 【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握以上知识点. 17. 已知圆锥的母线长,侧面积,则这个圆锥的高是__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径,再利用勾股定理即可得到高. 【详解】解:根据圆锥侧面积公式变形可得, 根据圆锥母线公式,可得, 故答案为:12. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式,熟知上述公式是解题的关键. 18. 在中,,点是斜边的中点,把绕点顺时针旋转,得,点,点旋转后的对应点分别是点,点,连接,,在旋转的过程中,面积的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作交的延长线于点G,求出,然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动,则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大,求出距离的最大值,然后计算即可. 【详解】解:如图,在中,,,点是斜边的中点, ∴,,, ∴, 过点A作交的延长线于点G, ∴, 又∵在旋转的过程中,点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动,, ∴点F到直线的距离的最大值为,(如图,G、A、F三点共线时) ∴面积最大值, 故答案为:. 【点睛】本题考查了含直角三角形的性质,直角三角形斜边中线的性质,旋转的性质,圆的基本性质等知识,根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键. 19. 矩形中,,将矩形沿过点的直线折叠,使点落在点处,若是直角三角形,则点到直线的距离是__________. 【答案】6或或 【解析】 【分析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心,长为半径的圆上运动,延长交的另一侧于点E,则此时是直角三角形,易得点到直线的距离;当过点D的直线与圆相切于点E时,是直角三角形,分两种情况讨论即可求解. 【详解】解:由题意矩形沿过点的直线折叠,使点落在点处, 可知点E在以点A为圆心,长为半径的圆上运动, 如图,延长交的另一侧于点E,则此时是直角三角形, 点到直线的距离为的长度,即, 当过点D的直线与圆相切与点E时,是直角三角形,分两种情况, ①如图,过点E作交于点H,交于点G, ∵四边形是矩形, ∴, ∴四边形是矩形, ∵,,, 由勾股定理可得, ∵, ∴, ∴到直线的距离, ②如图,过点E作交于点N,交于点M, ∵四边形是矩形, ∴, ∴四边形是矩形, ∵,,, 由勾股定理可得, ∵, ∴, ∴到直线的距离, 综上,6或或, 故答案为:6或或. 【点睛】本题考查了矩形折叠问题切线的应用,以及勾股定理,找到点E的运动轨迹是解题的关键. 20. 如图,在平面直角坐标系中,的顶点A在直线上,顶点B在x轴上,垂直轴,且,顶点在直线上,;过点作直线的垂线,垂足为,交x轴于,过点作垂直x轴,交于点,连接,得到第一个;过点作直线的垂线,垂足为,交x轴于,过点作垂直x轴,交于点,连接,得到第二个;如此下去,……,则的面积是__________. 【答案】 【解析】 分析】解直角三角形得出,,求出,证明,,得出,,总结得出,从而得出. 【详解】解:∵, ∴, ∵轴, ∴点A的横坐标为, ∵, ∴点A的纵坐标为, ∴, ∴, ∵, ∴设,则, ∴, ∴, ∴, , ∵, ∴, ∴平分, ∵,, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴ , ∵, ∴, ∴, ∵,,, ∴, ∴, ∴, ∴,, ∵轴,轴, ∴,, ∵轴,轴,轴, ∴, ∴,, ∵, ∴,, ∴, ∵, ∴, 同理, ∴, , ∴, ∴. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质,解直角三角形,三角形面积的计算,平行线的判定和性质,一次函数规律探究,角平分线的性质,三角形全等的判定和性质,解题的关键是得出一般规律. 三、解答题(满分60分) 21. 先化简,再求值:,其中. 【答案】,原式 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简,然后求出,最后代值计算即可. 【详解】解: , ∵, ∴原式. 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值,求特殊角三角函数值,正确计算是解题的关键. 22. 如图,在平面直角坐标系中,已知的三个顶点坐标分别是,. (1)将向上平移4个单位,再向右平移1个单位,得到,请画出. (2)请画出关于轴对称的. (3)将着原点顺时针旋转,得到,求线段在旋转过程中扫过的面积(结果保留). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解析】 【分析】(1)根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形; (2)利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形; (3)画出旋转后的图形,根据即可得出答案. 【小问1详解】 解:如图所示,即为所求; 【小问2详解】 如图所示,即为所求; 【小问3详解】 将着原点顺时针旋转,得到, 设所在圆交于点D,交于点E, ,, , ,, , , ,,, , 故线段在旋转过程中扫过的面积为. 【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键. 23. 如图,抛物线与轴交于两点,交轴于点. (1)求抛物线的解析式. (2)拋物线上是否存在一点,使得,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2)存在,点的坐标为或 【解析】 【分析】(1)采用待定系数法,将点和点坐标直接代入抛物线,即可求得抛物线的解析式. (2)过线段的中点,且与平行的直线上的点与点,点连线组成的三角形的面积都等于,则此直线与抛物线的交点即为所求;求出此直线的解析式,与抛物线解析式联立,即可求得答案. 【小问1详解】 解:因为抛物线经过点 和点两点,所以 , 解得 , 所以抛物线解析式为:. 【小问2详解】 解:如图,设线段的中点为,可知点的坐标为,过点作与平行的直线,假设与抛物线交于点, (在的左边),(在图中未能显示). 设直线的函数解析式为. 因为直线经过点和,所以 , 解得, 所以,直线的函数解析式为:. 又, 可设直线的函数解析式为, 因为直线经过点 ,所以 . 解得. 所以,直线的函数解析式为. 根据题意可知, . 又, 所以,直线上任意一点与点,点连线组成的的面积都满足. 所以,直线与抛物线的交点,即为所求,可得 , 化简,得 , 解得, 所以,点的坐标为,点的坐标为. 故答案为:存在,点的坐标为或. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等,灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键. 24. 某中学开展主题为“垃圾分类,绿色生活”的宜传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在,将他们的得分按A:优秀,B:良好,C:合格,D:不合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图. (1)这次学校抽查的学生人数是__________人; (2)将条形图补充完整; (3)扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________; (4)如果该校共有2200人,请估计该校不合格的人数. 【答案】(1)40 (2)见解析 (3) (4)220人 【解析】 【分析】(1)用A:优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数; (2)先求出C:合格的人数,再补全统计图即可; (3)用360度乘以C组对应人数占比即可得到答案; (4)用2200乘以样本中D组对应的人数占比即可得到答案. 小问1详解】 解:人, ∴这次学校抽查的学生人数是人, 故答案为:40; 【小问2详解】 解:由(1)得C:合格的人数为人, 补全统计图如下所示: 【小问3详解】 解:, ∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是, 故答案为:; 【小问4详解】 解:人, ∴估计该校不合格的人数为220人. 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联,用样本估计总体,正确读懂统计图是解题的关键. 25. 已知甲,乙两地相距,一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时与出租车相距,货车继续出发后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象,结合图象回答下列问题: (1)图中的值是__________; (2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式; (3)直接写出在出租车返回的行驶过程中,货车出发多长时间与出租车相距. 【答案】(1)120 (2) (3)或 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求得的解析式,将代入解析式,解方程即可解答; (2)根据题意可得的值,即为货车装货时距离乙地的长度,结合货车停下来装完货物后,发现此时与出租车相距,可求出装货时间,即点的坐标,再根据货车继续出发后与出租车相遇,求出装完货后货车的速度,即直线的解析式中的值,最后将点B坐标代入直线的解析式,利用待定系数法即可解答; (3)根据(2)中直线的解析式求得点的坐标,结合题意,可得点的坐标,从而可得到出租车返回时的速度,然后进行分类讨论:①出租车和货车第二次相遇前,相距时;②出租车和货车第二次相遇后,距离时,分别进行解答即可. 【小问1详解】 解:结合图象,可得, 设直线的解析式为, 将代入解析式,可得,解得, 直线的解析式为, 把代入,得, 故答案为:120; 【小问2详解】 解:根据货车停下来装完货物后,发现此时与出租车相距, 可得此时出租车距离乙地为, 出租车距离甲地为, 把代入,可得,解得, 货车装完货时,,可得, 根据货车继续出发后与出租车相遇,可得(出租车的速度货车的速度), 根据直线的解析式为,可得出租车的速度为, 相遇时,货车的速度为, 故可设直线的解析式为, 将代入,可得,解得, 直线的解析式为, 故货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为; 【小问3详解】 解:把代入,可得,解得, , , 根据出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地,可得, , 出租车返回时的速度为, 设在出租车返回的行驶过程中,货车出发t小时,与出租车相距, 此时货车距离乙地为,出租车距离乙地为, ①出租车和货车第二次相遇前,相距时; 可得, 解得, ②出租车和货车第二次相遇后,相距时; 可得, 解得, 故在出租车返回的行驶过程中,货车出发或与出租车相距. 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息,用待定系数法求一次函数,一次函数的实际应用,能准确地理解题意,根据题中信息求得所需数据是解题的关键. 26. 如图①,和是等边三角形,连接,点F,G,H分别是和的中点,连接.易证:. 若和都是等腰直角三角形,且,如图②:若和都是等腰三角形,且,如图③:其他条件不变,判断和之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明. 【答案】图②中,图③中,证明见解析 【解析】 【分析】图②:如图②所示,连接,先由三角形中位线定理得到,,再证明得到,则,进一步证明,即可证明是等腰直角三角形,则; 图③:仿照图②证明是等边三角形,则. 【详解】解:图②中,图③中, 图②证明如下: 如图②所示,连接, ∵点F,G分别是的中点, ∴是的中位线, ∴, 同理可得, ∵和都是等腰直角三角形,且, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴ , ∴是等腰直角三角形, ∴; 图③证明如下: 如图③所示,连接, ∵点F,G分别是的中点, ∴是的中位线, ∴, 同理可得, ∵和都是等腰三角形,且, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴ , ∴是等边三角形, ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,三角形中位线定理,等边三角形的性质与判定,勾股定理等等,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 27. 2023年5月30日上午9点31分,神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空,某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播,学校准备为同学们购进A,B两款文化衫,每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元,用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同. (1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元? (2)已知毕业班的同学一共有300人,学校计划用不多于14800元,不少于14750元购买文化衫,求有几种购买方案? (3)在实际购买时,由于数量较多,商家让利销售,A款七折优惠,B款每件让利m元,采购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同,试求m值. 【答案】(1)A款文化衫每件50元,则B款文化衫每件40元, (2)一共有六种购买方案 (3) 【解析】 【分析】(1)设A款文化衫每件x元,则B款文化衫每件元,然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可; (2)设购买A款文化衫a件,则购买B款文化衫件,然后根据,学校计划用不多于14800元,不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可; (3)设购买资金为W元,购买A款文化衫a件,则购买B款文化衫件,求出,根据(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同,可得W的取值与a的值无关,由此即可求出. 小问1详解】 解:设A款文化衫每件x元,则B款文化衫每件元, 由题意得,, 解得, 检验,当时,, ∴是原方程的解, ∴, ∴A款文化衫每件50元,则B款文化衫每件40元, 答:A款文化衫每件50元,则B款文化衫每件40元; 【小问2详解】 解:设购买A款文化衫a件,则购买B款文化衫件, 由题意得,, 解得, ∵a是正整数, ∴a的取值可以为275,276,277,278,279,280, ∴一共有六种购买方案; 【小问3详解】 解:设购买资金为W元,购买A款文化衫a件,则购买B款文化衫件, 由题意得, , ∵(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同, ∴W的取值与a的值无关, ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用,分式方程的实际应用,整式的加减的实际应用,正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键. 28. 如图,在平面直角坐标系中,菱形的边在x轴上,,的长是一元二次方程的根,过点C作x轴的垂线,交对角线于点D,直线分别交x轴和y轴于点F和点E,动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿向终点D运动,动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿向终点E运动.两点同时出发,设运动时间为t秒. (1)求直线的解析式. (2)连接,求的面积S与运动时间t的函数关系式. (3)点N在运动的过程中,在坐标平面内是否存在一点Q.使得以A,C,N,Q为项点的四边形是矩形.若存在,直接写出点Q的坐标,若不存在,说明理由. 【答案】(1); (2); (3)存在,点Q的坐标是或. 【解析】 【分析】(1)过点A作于H,解方程可得,然后解直角三角形求出、和的长,得到点A、D的坐标,再利用待定系数法求出解析式即可; (2)首先证明是等边三角形,求出,然后分情况讨论:①当点N在上,即时,过点N作于P,②当点N在上,即时,过点N作于T,分别解直角三角形求出和,再利用三角形面积公式列式即可; (3)分情况讨论:①当是直角边时,则,过点N作于K,首先求出,然后解直角三角形求出和,再利用平移的性质得出点Q的坐标;②当是对角线时,则,过点N作于L,证明,可得,然后解直角三角形求出,再利用平移的性质得出点Q的坐标. 【小问1详解】 解:解方程得:,, ∴, ∵四边形是菱形,, ∴,, ∴, ∴, 过点A作于H, ∵, ∴,, ∴, 设直线的解析式为, 代入,得:, 解得:, ∴直线的解析式为; 【小问2详解】 解:由(1)知在中,,, ∴,, ∵直线与 y轴交于点E, ∴, ∴, ∴是等边三角形, ∴,, ∴, ∴, ①当点N在上,即时, 由题意得:,, 过点N作于P, 则, ∴; ②当点N在上,即时, 由题意得:,, 过点N作于T, 则, ∴; 综上,; 【小问3详解】 解:存在,分情况讨论: ①如图,当是直角边时,则,过点N作于K, ∵,, ∴,, ∴, ∴, ∴,, ∴将点N向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度得到点C, ∴将点A向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度得到点Q, ∵, ∴; ②如图,当是对角线时,则,过点N作于L, ∵,, ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴将点C向右平移3个单位长度,再向上平移个单位长度得到点N, ∴将点A向右平移3个单位长度,再向上平移个单位长度得到点Q, ∵, ∴; ∴存在一点Q,使得以A,C,N,Q为顶点的四边形是矩形,点Q的坐标是或. 【点睛】本题考查了解一元二次方程,菱形的性质,解直角三角形,待定系数法的应用,等边三角形的判定和性质,含直角三角形的性质,二次函数的应用,矩形的判定和性质以及平移的性质等知识,灵活运用各知识点,作出合适的辅助线,熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键.
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