2.甘肃省临夏中学等校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷.docx

甘肃省临夏中学等校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，则（    ）
A． B．0 C．2 D．3
2．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
3．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ）
A．l与斜交 B． C． D．
4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）
A． B． C． D．
6．某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（    ）
A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件
7．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ）

A． B． C． D．
8．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列各式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
10．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递增
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
11．如图，在正方体中，下列说法正确的是（    ）

A．
B．三棱锥与正方体的体积比为
C．
D．平面

三、填空题
12．已知向量，且，则 ．
13．某一质点做直线运动，由始点经过t秒后的位移（单位：米）为，则秒时的瞬时速度为 米/秒．
14．我们通常用“曲率”来衡量曲线弯曲的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．若是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率．已知曲线，则曲线在点处的曲率为 ；若，则曲线的曲率的平方的最大值为 ．

四、解答题
15．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最大值和最小值．

16．设O为坐标原点，．
(1)求；
(2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值．

17．已知函数．
(1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值．
(2)若存在x使得，求实数a的取值范围．

18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，且．

(1)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值；
(2)求二面角的大小．

19．若函数的导函数分别为，满足且，则称c为函数与的一个“好位点”，记作“C点”．
(1)求与的“C点”．
(2)判断函数与是否存在“C点”，若存在，求出“C点”，若不存在，请说明理由．
(3)已知函数，若存在实数，使函数与在区间内存在“C点”，求实数q的取值范围．

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．D 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D
9．BC 10．BD 11．ACD
12． 13． 14． 2
15．(1)递增区间是，递减区间是；
(2)最大值和最小值分别为.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的递增区间是，递减区间是.
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
而，则，，
所以在上的最大值和最小值分别为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，
所以，
则；
（2）由题意可设，则，
易知，
所以
，
当时，取得最小值.
17．(1)3；
(2).
【详解】（1）函数，求导得，
由函数的单调递减区间为，得是的解集，
于是是方程的二根，则，解得，
而当时，，由，得，符合题意，
所以实数a的值是3.
（2）不等式，依题意，存在正数，使得，
令，求导得，
显然函数在上单调递增，而，
则当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则，
所以实数a的取值范围.
18．(1)；
(2).
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面，
而，平面，则平面，又平面，
于是，又，平面，则平面，
而平面，则，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，
，而平面的一个法向量为，
所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为.

（2）由（1）知，，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
于是，则，显然二面角的大小为钝角，
所以二面角的大小为.
19．(1)1；
(2)存在，；
(3).
【详解】（1）依题意，，，由方程组，得，解得，
所以函数的“C点”为1.
（2）依题意，，，
假定函数存在“C点”，令其“C点”为，
则，即，，
所以函数存在“C点”， “C点”为.
（3）依题意，，，
存在使得，即，
解得，
由，又，解得，
令，则，在上增函数，
，而当时，，且当时，，则，
所以实数q的取值范围．

答案第3页，共4页