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甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．数列的一个通项公式是（    ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中正确的是（    ）
A．表示过点，且斜率为的直线方程
B．直线与轴交于一点，其中截距
C．在轴和轴上的截距分别为与的直线方程是
D．方程表示过点，的直线
3．设是等差数列的前项和，且，，则使得取最小值时的为（    ）
A．6 B．7 C．6或7 D．8
4．已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
5．设是等比数列的前项和，若，，则（    ）
A． B． C． D．
6．某班组织文艺晚会, 准备从等个节目中选出个节目演出, 要求两个节目至少有一个被选中, 且同时被选中时, 它们的演出顺序不能相邻, 那么不同的演出顺序种数为
A． B． C． D．
7．已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（    ）
A．63 B．64 C．247 D．255
8．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．若数列的前项和为，则下列错误的是（    ）
A．若数列为等差数列，则一定可转化为
B．若，则数列为等差数列
C．若实数满足，则数列为等比数列
D．若数列为等比数列，为公比，则
10．以下四个命题表述正确的是（    ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D．已知圆：，点为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，为切点，则直线AB经过定点
11．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（    ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
12．抛物线C：的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（    ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．

三、填空题
13．过点斜率为的直线在轴上的截距为 ．
14．已知直线l：与：交于A，B两点，写出满足“为直角三角形”的一个圆心C的坐标 .
15．在数列中，，，则数列的前项和 .
16．如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是 .

四、解答题
17．已知直线和直线.
(1)试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；
(2)若原点到距离最大，求此时的直线的方程.

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1=1，点P(bn，bn+1)满足2+bn=bn+1.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn.

19．已知圆C1：(x-4)2+(y-2)2=4和圆C2：(x-1)2+(y-3)2=9．
（1）试判断两圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在的直线方程;
（2）若直线l过点(1，0)且与圆C1相切，求直线l的方程．

20．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线（）的焦点F与双曲线的右焦点重合.
（1）求双曲线和抛物线的标准方程；
（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.

21．已知各项均为正数的数列前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为.
（i）求；
（ii）是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.

22．已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A
9．CD 10．BCD 11．BD 12．ABC
13．-2 14．（答案不唯一） 15． 16．
17．(1)能平行，
(2)
【详解】（1）因为，所以直线的斜率为，
又，若，则斜率必存在，所以且斜率为，
由，得到或，
当时，，，此时与重合，不合题意，
当时，，，此时，所以，能平行，
两平行线之间的距离为.
（2）由，得到，所以直线过定点，
当时，原点到的距离最大，
此时直线的斜率为，直线的斜率不存在，
所以此时的直线的方程为.
18．（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，
两式相减得，即，
又
是以2为首项，2为公比的等比数列，

是以1为首项，2为公差的等差数列，
（2）①
②
①-②得：

19．（1）相交；6x-2y-15=0；（2）y=0或12x-5y-12=0．
【详解】（1）由题意得C1(4，2)，r1=2，C2(1，3)，r2=3，
∴|C1C2|=，r2-r1<|C1C2|<r1+r2，∴两圆相交，
两圆的方程相减得6x-2y-15=0，即为公共弦所在直线的方程．
（2）依题意可知直线的斜率存在.
设直线l方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0，
由题意得2=，解得k=0或k=．
∴直线l的方程为y=0或12x-5y-12=0．
20．（1）；（2）
【详解】解：（1）因为双曲线（，）的渐近线方程为，
所以①，又点在双曲线上，所以②
由①②解得，，
故双曲线标准方程为；
设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为，
即，所以抛物线的标准方程为.
（2）设直线交抛物线于，，
联立得即，
故.
由抛物线定义知，，
所以
21．(1)
(2)（i）；（ii）或
【详解】（1）因为，得到，又，
所以数列构成以为首项，为公差的等差数列，
故，得到，
当时，，所以，
又时，，即，也满足，
所以.
（2）（i）由（1）知，，
所以.
（ii）由（i）知，所以，
当为奇数时，，即，
所以当时，的最大值为，所以只需，
当为偶数时，，即，
所以当时，的最小值为，所以只需，
可知存在，且，又为整数，所以或.
22．(1)
(2)6
【详解】（1）由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；
（2）由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，令得，
由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．

答案第3页，共4页