江苏省南京市南京师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题.docx

江苏省南京市南京师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ）
A． B． C． D．
2．设为实数，已知直线：，：，若，则（    ）
A． B．2 C．2或 D．5或
3．若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（    ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5．设等差数列的前项和为，若，则（    ）
A． B．4 C． D．
6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若,则抛物线C的方程为（    ）
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
7．设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
8．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，满足且，，若的“欧拉线”与圆：（）相切，则下列结论正确的是（    ）
A．圆上点到直线的最小距离为
B．圆上点到直线的最大距离为
C．点在圆上，当最小时，
D．点在圆上，当最大时，

二、多选题
9．已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（    ）
A．极差为6 B．众数为4 C．方差为4 D．中位数为5
10．下列化简正确的是（    ）
A． B．
C． D．
11．若抛物线（）的焦点为，其准线与轴交于点.过点作直线与抛物线交于点，且（），直线与抛物线的另一交点为（点在点的左边）.下列结论正确的是（    ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
12．已知曲线：是双曲线，下列说法正确的是（    ）
A．直线是曲线的一条渐近线
B．曲线的实轴长为
C．为曲线的其中一个焦点
D．当为任意实数时，直线：与曲线恒有两个交点

三、填空题
13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 .
14．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方．若线段的中点M在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
15．设是正实数，已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 .
16．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 .

四、解答题
17．某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，.
(1)求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率；
(2)求三人中至少有一人获得决赛资格的概率.
18．设等差数列的前项和为.已知，.
(1)求；
(2)当为何值时，最小？并求此最小值.
19．在中，角，，所对的边分别为，，且满足.
(1)求角的值；
(2)若，且的面积为，求的周长.
20．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
21．已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.

(1)若点的坐标为，证明：直线；
(2)求线段的长.
22．已知点，在双曲线：上，过点作直线交双曲线于点，（不与点，重合）.证明：
(1)记点，当直线平行于轴，且与双曲线的右支交点为时，，，三点共线；
(2)直线与直线的交点在定圆上，并求出该圆的方程.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．B
8．C
9．ABC
10．ACD
11．CD
12．ACD
13．
14．.
15．
16．其中
17．(1).
(2).
【详解】（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B相互独立.
因为两轮选拔之间相互独立
所以，.
则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：
所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率.
（2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立.
则.
因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”
所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为

所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率.
18．(1)
(2)8，4

【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，
又，，
所以，
解得，
所以；
（2）由（1）得，
当时，，
当时，递增，当时，递减，又，
所以的最小值为7；
当时，，在上递增，又，
所以的最小值为4，
综上：的最小值为4.
19．(1)
(2)

【详解】（1）由正弦定理得，整理得，
所以，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，则，
由余弦定理得，则，
所以，则，
所以的周长为.
20．(1)，焦点为
(2)
【详解】（1）抛物线：的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，解得，
所以抛物线方程为，焦点为.
（2）由（1）可知抛物线的焦点，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，、，
由，消去整理得，
所以，则，，
所以，，
又，所以、，
因为，所以，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即.

21．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意切线的斜率存在，设切线方程为，
联立，消得，
则，
所以，即，
所以；
（2）设，则，
椭圆：得长半轴长为，短半轴长为，
当过点的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为，
此时，则，解得，
而直线与椭圆相切，
所以当过点的一条切线斜率不存在时，，
当过点的切线斜率存在时，则，
设切线方程为，
联立，消得，
则，
化简得，
所以，
所以，
综上所述，，
所以线段为圆的直径，
所以.
22．(1)证明见解析.
(2)证明见解析；.
【详解】（1）由题意，当直线平行于轴时，方程为，
且与双曲线的右支交点为，则，
的斜率，
的斜率，
所以，，三点共线.
（2）  
由题知直线斜率存在，且过，
设，
与双曲线联立得：
，且
则，
设直线与直线的交点为，斜率分别为，
则
，
，
在中，，，
由正弦定理得外接圆半径，
所以在过且半径为的圆上，设其圆心为，
因为，，在线段的中垂线上，
所以在轴上，设，
则由或（舍），
所以定圆方程为.

答案第5页，共6页