5.甘肃省兰州市第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题.docx

甘肃省兰州市第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．坐标平面内点的坐标为，则点位于第（    ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
3．若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（   ）
A．或 3 B．1 或 C． D．3
4．函数的零点所在区间为（    ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
6．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（  ）天.（参考数据：)
A．70 B．80 C．90 D．100
8．已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．若，则函数的大致图象是（    ）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法错误的是（    ）
A．若终边上一点的坐标为，则
B．若角为锐角，则为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D．若，且，则
11．已知函数，则下列说法不正确的是（    ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
12．已知函数 ，则方程实数根的个数可以为 （   ）
A．4 B．6 C．7 D．9

三、填空题
13．计算：＝ ．
14．当时，的最小值为 ．
15．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为 ，第二次到达平衡位置O所需要的时间为 s．

16．定义在R上的奇函数满足，且在上，则=

四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
18．已知.
(1)化简；
(2)已知，求的值.
19．已知一次函数过定点.
(1)若，求不等式解集.
(2)已知不等式的解集是，求的最小值.
20．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.

(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.
21．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.

(1)求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
22．把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．已知函数．
(1)若，，求的值域；
(2)函数，若对，，都有恒成立，求实数的取值范围．

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．D 2．B 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．D
9．BC 10．AB 11．BCD 12．ACD
13．1 14． 15． /0.5 16．
17．(1)
(2)8
【详解】（1）原式=
（2）原式

.
18．(1)；
(2)3.

【详解】（1）

.
（2）因为，所以，
∴.
19．(1)或
(2)
【详解】（1）依题设，因为过定点，所以，即，又，即，所以，
故不等式即，可得，即，将其转化为不等式组得，解得或，
故原不等式的解集为或.
（2）由（1）知，又不等式的解集是，所以的解集是，
即方程有两根为，由韦达定理，，且，
则且，故，由，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
20．(1)
(2)至少需要经过后，学生才能回到教室
【详解】（1）依题意，当时，
可设，且，解得，
又由，解得，
所以；
（2）令，
即，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室.
21．(1)，递增区间是；递减区间是
(2)最大值是，最小值是.
【详解】（1）由图，知，
，
，
因为，，则，
，
由，可得，
故的递增区间是；
由，可得，
故的递减区间是
（2）当时，，
当，即时，取得最大值为；
当，即时，取得最大值为；
在区间上的最大值是，最小值是.
22．(1)
(2)
【详解】（1）
，，
则，
的开口向下，对称轴为，
因为，所以；
（2）
，
∵，∴，令，则，
函数转化为函数，，
函数在上单调递增，故当时，，
即函数的最小值为1，
由题知，，即对于恒成立，
即对于恒成立，
令，则，记，，故只要，
①当时，，解得，∴，
②当时，，解得，∴，
③当时，，解得，∴．
综合①②③得，．

答案第3页，共4页